Sekundární diferenciální počet je odvětví moderní matematiky , které rozšiřuje klasický diferenciální počet na varietách do prostoru řešení nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Zásluhu na objevu sekundárního diferenciálního počtu má profesor Alexandr Michajlovič Vinogradov .
V matematice existuje spojení mezi algebrou a geometrií, to znamená, že pro jakoukoli algebraickou rovnici můžete najít geometrickou analogii. Geometrickým protějškem pro nelineární diferenciální rovnice jsou velmi složité, někdy nekonečně rozměrné geometrické objekty s mnoha strukturami ( charakteristické kužely , L-paprsky atd.); pro jejich podrobné studium byl vytvořen tento matematický aparát.
Tato teorie operuje se sekundárními analogy klasické analýzy (sekundární vektorová pole, sekundární moduly přes sekundární hladkou algebru funkcí atd.). V této teorii jsou představeny difeotopy - geometrické objekty, které v ní hrají stejnou roli jako algebraické variety v teorii algebraických rovnic. Jsou to manifoldy zvláštního druhu, zpravidla nekonečně-dimenzionální, vybavené kontaktní strukturou nekonečného řádu. Sekundární diferenciální počet je diferenciální počet na difeotopech, který bere v úvahu tuto kontaktní strukturu. Nekonečná dimenzionalita difeotopů znemožňuje sestrojit diferenciální počet standardními metodami. Proto je zde aplikace algebraického přístupu nevyhnutelná.
Pozoruhodný a neočekávaný fakt, který se objevil v procesu konstrukce sekundárního diferenciálního počtu, je, že jeho objekty jsou cohomologické třídy určitých diferenciálních komplexů, které přirozeně vznikají na difeotopech.
Na základě této teorie byla vytvořena syntetická matematická teorie nazvaná difeotopie (neplést s izotopií vkládání ). Jde o syntézu dvou teorií - primárního diferenciálního počtu, tedy teorie funktorů diferenciálního počtu nad komutativními algebrami, a sekundárního diferenciálního počtu. Jedná se o nový dynamicky se rozvíjející obor matematiky, který je svéráznou a přirozenou syntézou mnoha moderních matematických disciplín, jako jsou geometrická teorie nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, komutativní a homologická algebra, algebraická topologie, algebraická a diferenciální geometrie, diferenciální počet v komutativní algebry a další. Aktuální problémy difeotopie lze rozdělit do dvou velkých tříd. První zahrnuje problémy související s identifikací a studiem základních struktur primárních a sekundárních výpočtů. Druhá třída zahrnuje četné technické a výpočetní problémy spojené s řešením konkrétních problémů difeotopickými metodami. Například problém nalezení všech zákonů zachování nebo Bäcklundových transformací pro daný systém diferenciálních rovnic, který je z hlediska sekundárního počtu algoritmický, poskytuje příklad nejjednoduššího problému této třídy. Skutečné výpočty pomocí metod sekundárního diferenciálního počtu se často ukazují jako tak složité a zdlouhavé, že jejich implementace je bez patřičné počítačové podpory nemožná. Proto je vývoj vhodného specializovaného softwaru pro symbolické „sekundární“ výpočty mimořádně důležitým úkolem.
Tato teorie již nachází uplatnění v moderní fyzice, a to: úsek moderní kvantové teorie pole spojený s kvantováním BRST a antipolním formalismem je přirozeně a koncepčně transparentně popsán jazykem sekundárního diferenciálního počtu (s tím spojený úsek fyziky je tzv. kohomologická fyzika ).