Výška polynomu

Výška a délka polynomu P s komplexními koeficienty jsou veličiny označující „velikost“ polynomu.

Tyto termíny se také používají ve vztahu k samotným algebraickým číslům : výška a délka algebraického čísla jsou výškou a délkou jeho minimálního polynomu .

Definice

Pro polynom P stupně n daný vzorcem

P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

výška H ( P ) je maximální (modulo) hodnota jeho koeficientů:

H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|,

a délka L ( P ) je součet absolutních hodnot koeficientů:

L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.\,

Mahlerova míra M ( P ) polynomu P je také mírou velikosti polynomu P. Tři funkce H ( P ), L ( P ) a M ( P ) spolu souvisí pomocí nerovností

{\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor ))^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1));

L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);

H(p)\leq L(p)\leq nH(p)

kde je binomický koeficient . $\scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor ))$

Petr Borwein. . - Springer-Verlag , 2002. - S. 2,3,142,148. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 .
K. Mahler. O dvou extrémních vlastnostech polynomů // Illinois J. Math .. - 1963. - T. 7 . — S. 681–701 .
Andrzeje Schinzela . Polynomy se zvláštním zřetelem na redukovatelnost. - Cambridge: Cambridge University Press , 2000. - V. 77. - S. 212. - (Encyklopedie matematiky a její aplikace). — ISBN 0-521-66225-7 .