Harmonická vlna

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. srpna 2016; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Harmonická vlna je vlna, ve které každý bod oscilujícího média nebo pole v každém bodě prostoru vytváří harmonické oscilace .

V různých případech, je-li to nutné, je zvýrazněna třída zájmových harmonických vln, například rovinná harmonická vlna , stojatá harmonická vlna atd. (viz níže). [jeden]

Zdrojem harmonických vln mohou být harmonické oscilace , mohou být také vybuzeny v jakémkoli systému, když interaguje s harmonickou vlnou.

Jednorozměrný případ

Nejjednodušší je případ jednorozměrného homogenního prostoru (neboli jednorozměrného homogenního média) [2] .

V tomto případě jsou všechny typy harmonických vln redukovány na:

sinusové (kosinové) postupné vlny:

u(x,t)=A\ cos(kx-\omega t+\phi _{0})\

nebo postupné vlny ve formě imaginárního exponentu:

u(x,t)=A\ e^{i(kx-\omega t)},\

i ke konečným lineárním kombinacím vln tohoto typu (k vyjádření libovolné reálné harmonické vlny v tomto případě stačí smíchat dvě vlny prvního typu nebo čtyři vlny druhého; v případě vícerozměrného u, pro každou polarizaci jsou přidány dva takové termíny).

Lze také použít koncept harmonické stojaté vlny, která je redukována na součet dvou harmonických postupujících (probíhajících v opačných směrech) vln popsaných výše:

u(x,t)={\frac {A}{2}}\cdot (cos(kx-\omega t+\phi _{0})+cos(-kx-\omega t+{\hat { \phi }}_{0}))=Acos(kx+\phi '_{0})cos(\omega t+{\hat {\phi }}'_{0}).

Zde je A konstantní (nezávislý na x a t ) koeficient, jehož povaha a rozměr se shodují s povahou a rozměrem pole u ; k , ω a φ 0 jsou také konstantní parametry, v uvažovaném jednorozměrném případě jsou to všechna reálná čísla (na rozdíl od vícerozměrných, kde se k stává vektorem pro rovinné vlny). A je amplituda vlny, k je vlnočet, ω je (cyklická) frekvence a φ 0 je počáteční fáze – tedy fáze vlny při x = t = 0.

Ve druhém vzorci je A (obvykle) komplexní, amplituda vlny je určena jejím modulem | A |, a počáteční fáze je také skryta v A jako její argument, protože

u(x,t)=A\ e^{i(kx-\omega t)}=|A|\ e^{iArgA}e^{i(kx-\omega t)}=|A| \ e^{i(kx-\omega t+ArgA)}.

Stejně jako je stojatá vlna vyjádřena (jak je zde psáno) dvěma postupnými vlnami, tak i postupná vlna může být vyjádřena dvěma stojatými vlnami. Proto lze v případě jednorozměrného homogenního prostoru zvolit jeden ze dvou stejných způsobů vyjádření libovolné harmonické vlny: prostřednictvím lineární kombinace postupného vlnění nebo lineární kombinace stojatého vlnění. To platí pro všechny ostatní případy, i když základní vlny, jejichž lineární kombinací je vyjádřena libovolná harmonická vlna, se mohou ukázat jako složitější.

případ nehomogenního jednorozměrného prostoru (nehomogenního média) se ukazuje mnohem složitější. V tomto případě se závislost harmonických vln na prostorové souřadnici x nestane sinusovou, ale v obecném - a nejtypičtějším - případě a není vůbec vyjádřena pomocí elementárních funkcí. Nicméně v tomto případě zůstává pravdivé tvrzení o možnosti vyjádřit libovolnou harmonickou vlnu pomocí konečného (pro určitou frekvenci) počtu základních harmonických vln.

Případy prostoru s rozměry většími než jedna

V případech prostoru s rozměrem větším než jedna, i když je homogenní, se v zásadě velmi zvyšuje rozmanitost možných harmonických vln. Existují však dva typy harmonických vln, které si zaslouží zvláštní pozornost.

Rovinné harmonické vlny

Nejvýznamnějším a nejčastěji se vyskytujícím typem harmonických vln jsou rovinné harmonické vlny (jednorozměrné harmonické vlny jsou jejich speciálním jednorozměrným případem).

Cestující rovinná vlna je vlna tohoto typu:

u(x,t)=A\ cos({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\phi _{0})\

nebo

u(x,t)=A\ e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)},\

kde na rozdíl od jednorozměrné vlny již není reálné číslo, ale vektor zvaný vlnový vektor , jehož rozměr je roven rozměru prostoru a výraz znamená skalární součin tohoto vektoru s vektorem [ 3] charakterizující bod v prostoru: . ${\vec k}$ ${\vec {k}}\cdot {\vec {x}}$ ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3},\tečky )=(x,y,z,\tečky )$ ${\vec {k}}\cdot {\vec {x}}=k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+k_{3}x_{3}+\tečky$

Je snadné vidět, že pokud zvolíme souřadnicovou osu podél vlnového vektoru, rovinná vícerozměrná vlna se redukuje na jednorozměrnou ( u obecně přestává záviset na ostatních souřadnicích a závisí na první jako jednorozměrné harmonická vlna).

Stojatá rovinná vlna:

u(x,t)=Acos({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+\phi _{0})cos(\omega t+{\hat {\phi }}' _{0}).

Stejně jako v jednorozměrném případě jsou stojaté a postupující harmonické vlny stejné frekvence se stejným (možná až znaménkovým) vlnovým vektorem elementárně lineárně vyjádřeny přes sebe.

Vzhledem k tomu, že pomocí Fourierovy transformace (v aktuální sekci je samozřejmě implikována vícerozměrná Fourierova transformace), lze téměř jakoukoli [4] funkci prostorových souřadnic reprezentovat jako součet (integrál) funkcí reprezentujících každou rovinnou vlnu. a závislost na čase v tom případě pro případ homogenního prostoru bude také zjevně harmonická, pak je zřejmé, že je vhodné libovolnou harmonickou (nejen harmonickou) vlnu rozšiřovat o rovinné harmonické vlny. V některých případech a do určité míry to může být užitečné v případech heterogenity prostoru, i když v tomto případě to nemusí poskytnout očekávané výhody nebo extrahování těchto výhod může vyžadovat zvláštní umění.

Sférické harmonické vlny

Sférické harmonické vlny jsou poněkud méně univerzální a jednoduché (je ještě obtížnější je explicitně zapsat, pokud nejsou jednoduše vyjádřeny jako nekonečné součty / integrály rovinných vln; například pro dvourozměrný prostor jsou harmonické sférické vlny vyjádřeny v termíny Besselových funkcí , to znamená, že nejsou vyjádřeny pomocí elementárních funkcí).

Jsou však velmi užitečné, když samotné podmínky problému směřují ke snaze uvažovat sférické vlnění, tedy zejména při studiu vln generovaných bodovým zdrojem nebo když má problém jako celek sférickou symetrii (nejlépe ta druhá za snahu hledat řešení jednoduše ve formě pouze kulových vln).

Pro trojrozměrný homogenní prostor mají harmonické kulové vlny tvar:

běh:

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr-\omega t+\phi _{0})}{r))

nebo

u(r,t)=A\ {\frac {e^{i(kr-\omega t+\phi _{0))))){r))

stojící:

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr+\phi _{0})\cdot cos(\omega t+{\hat {\phi }}_{0})}{r} }

nebo (ve formě vhodné pro rozklad):

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr)\cdot cos(\omega t)}{r))

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr)\cdot sin(\omega t)}{r))

Význam a teoretická aplikace

Obecný lineární případ

Libovolná lineární diferenciální rovnice tvaru

$K{\frac {\partial ^{n}u}{\partial t^{n))}=Lu,$

kde řád derivace s ohledem na čas n může být libovolný (častěji je zajímavé n = 1 nebo 2) a L je libovolný lineární diferenciální operátor, který nezávisí na t (ačkoli pokud u musí být skutečné jednorozměrné, a L jsou hermitovské, pak liché n bude muset být vyloučeno ) bude mít řešení s harmonickou vlnou.

Vskutku, dosadíme , kde x je bod v prostoru libovolné dimenze. Dostaneme pak: $u=e^{i\omega t}\cdot v(x)$

$Ki^{n}\omega ^{n}v=Lv,\$

a exponent se zmenší. Provedeme- li stejnou substituci s -ω , dostaneme za podmínek vhodného K specifikovaného výše reálné v jako součet těchto dvou řešení.

Poznámky

↑ Slovo 'harmonický' je zde synonymem pro ' monochromatický ', ale zjevně není zcela přesné; každopádně obvyklé rozsahy obou pojmů se většinou poněkud liší.
↑ Samozřejmě také jako multidimenzionální případy, které se na to redukují
↑ Elipsa znamená, že počet souřadnic definujících vektor je roven rozměru prostoru; je-li tento rozměr roven 2, musí být počet složek vektoru samozřejmě také zkrácen na 2.
↑ Matematické podmínky kladené na třídu funkcí, pro které je Fourierova transformace možná a u kterých inverzní transformace obnovuje původní funkci, lze považovat za splněné pro jakoukoli funkci, která nás zajímá z hlediska vlnové fyziky, a případy, kdy tomu tak není docela věci, zpravidla nejsou z fundamentálního hlediska příliš důležité, a za druhé jsou docela úspěšně korigovány docela jednoduchou regularizací.