Gaussův paprsek

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. dubna 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Gaussův svazek - svazek elektromagnetického záření , ve kterém je rozložení elektrického pole a záření v průřezu dobře aproximováno Gaussovou funkcí . V teorii vlnových paprsků má zásadní význam koherentní světelný paprsek s Gaussovým rozložením pole. Tento paprsek se nazývá základní režim, aby se odlišil od ostatních režimů vyššího řádu.

Matematický popis

Hledá se řešení redukované vlnové rovnice , která popisuje šíření takového paprsku ve tvaru [1] :

{\displaystyle \Psi =u(x,y,z)e^{ikz))

kde je pomalu se měnící komplexní funkce, která určuje vlastnosti laserového paprsku, které jej odlišují od rovinné vlny. Použití operátoru na funkci dává: $u(x,y,z)$ $\Delta$ $\psi$

\Delta \Psi =\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y ^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné z^{2}}}+2ik{\frac {\částečné u}{\částečné z}}-k^{2 }u\right)e^{ikz}

Pokud výraz zanedbává druhou derivaci ve srovnání s první, pak na základě uvedené Helmholtzovy vlnové rovnice získáme následující rovnici: $u$ $z$

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+2ik {\frac {\partial u}{\partial z}}=0

Výsledná rovnice patří k rovnicím parabolického typu a samotná aproximace, v jejímž rámci byla získána, se nazývá parabolická aproximace. Je snadné ukázat, že rovnici bude vyhovovat Gaussův paprsek, jehož amplituda se mění podél příčné souřadnice podle Gaussova zákona.

Pro Gaussův paprsek můžeme napsat výraz:

u=a\exp {\left[i\left(p+{\frac {k}{2q}}r^{2}\right)\right]}

kde r 2 \u003d x 2 + y 2 . Parametr p je komplexní fázový posun, jak se světlo šíří podél osy z, a q je parametr komplexního svazku, který určuje Gaussovo rozložení pole podél souřadnice r, kde r je vzdálenost od osy. Navíc q určuje zakřivení vlnoplochy, která je v blízkosti osy sférická.

Podívejme se podrobněji na vlastnosti Gaussova svazku s vlnovou délkou λ. K tomu vyjádříme komplexní parametr q pomocí dvou reálných parametrů svazku R a w

\frac{1}{q} = \frac{1}{R} + i\frac{\lambda}{\pi w^2},

kde R je poloměr zakřivení čela vlny a w charakterizuje změnu pole E v příčné rovině (parametr w se obvykle nazývá šířka paprsku). Rozložení pole v této rovině se řídí Gaussovým zákonem a w se rovná vzdálenosti, ve které se amplituda pole sníží o faktor e ve srovnání s polem na ose.

Odvození pomocí Huygens-Fresnelova principu

Chcete-li získat explicitní formu amplitudy, lze použít Huygens-Fresnelův princip, který bere Gaussův signál jako počáteční vlnovou frontu na povrchu: $(x, y)$

A ( X , y ) = E 0 zk ⁡ ( − X 2 + y 2 w 0 2 ) {\displaystyle a(x,y)=E_{0}\exp {\left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w_{0}^{2}}}\right )}} $a(x,y)=E_{0}\exp {\left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w_{0}^{2}}}\right )}$ kde je minimální poloměr. Okamžitě si všimneme souvislosti s celkovým výkonem: , odkud $w_{0}$ $E_{{0}}$ $\int _{-\infty }^{+\infty }dx\int _{-\infty }^{+\infty }dy\times |a(x,y)|^{2}=P_{ 0}$ $E_{0}={\sqrt {\frac {2P_{0}}{\pi w_{0}^{2}}}}.$

Fresnelův integrál

A ( t , X , y , z ) = ∫ d X ' d y ' A ( X ' , y ' ) r cos ⁡ ( ω t − k r ) {\displaystyle A(t,x,y,z)=\int dx^{'}dy^{'}{\frac {a(x^{'},y^{'})}{r}}\ cos {(\omega t-kr)}}

A(t,x,y,z)=\int dx^{'}dy^{'}{\frac {a(x^{'},y^{'})}{r}}\ cos {(\omega t-kr)}

udává hodnotu vlnoplochy v čase t v bodě v prostoru .

(x,y,z)

Vezmeme-li v úvahu, že v argumentu kosinus je povoleno zjednodušení pro případ velkého z: a také to , pak po provedení integrace můžeme získat: $r={\sqrt {(xx^{'})^{2}+(yy^{'})^{2}+z^{2))}\přibližně z+{\frac {(xx^) {'})^{2}+(yy^{'})^{2}}{2z}}$ ${\frac {1}{r}}\cca {\frac {1}{z}}$

A ( t , X , y , z ) = 2 π k E 0 w 0 w ( z ) zk ⁡ ( − X 2 + y 2 w ( z ) 2 ) cos ⁡ ( ω t − k ( z + X 2 + y 2 2 R ) − α ) . {\displaystyle A(t,x,y,z)={\frac {2\pi }{k}}{\frac {E_{0}w_{0}}{w(z)))\exp {\ left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w(z)^{2}}}\right)}\cos {\left(\omega tk\left(z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2R}}\right)-\alpha \right)}.} $A(t,x,y,z)={\frac {2\pi }{k}}{\frac {E_{0}w_{0}}{w(z)))\exp {\ left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w(z)^{2}}}\right)}\cos {\left(\omega tk\left(z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2R}}\right)-\alpha \right)}.$ kde , , , a . $\tan(\alpha )={\frac {kw_{0}^{2}}{2z}}$ $R=z+{\frac {\left(kw_{0}^{2}\right)^{2}}{4z}}$ ${\displaystyle w(z)=w_{0}{\sqrt {1+\left({\frac {2z}{kw_{0}^{2))}\right)^{2))))$ $k={\frac {2\pi }{\lambda ))$

Pro intenzitu po obnovení normalizace máme:

já ( X , y ) = 2 P 0 π w ( z ) 2 zk ⁡ ( − 2 X 2 + y 2 w ( z ) 2 ) . {\displaystyle I(x,y)={\frac {2P_{0}}{\pi w(z)^{2}}}\exp {\left(-2{\frac {x^{2}+ y^{2}}{w(z)^{2}}}\right)}.} $I(x,y)={\frac {2P_{0}}{\pi w(z)^{2}}}\exp {\left(-2{\frac {x^{2}+ y^{2}}{w(z)^{2}}}\right)}.$

Výše uvedená úvaha je blíže popsána ve zdroji [2] .

Vlastnosti nosníku

Šířka nosníku

V určité rovině, nazývané hrdlo žíravého povrchu nebo pas, se Gaussův paprsek zmenšuje na minimální šířku w 0 . V této rovině, ze které je účelné měřit vzdálenost z, je fázové čelo ploché a parametr komplexního svazku se stává čistě imaginárním:

q_0 = \frac{\pi w_0^2}{i \lambda} , z_R = iq_0,

kde z R je Rayleighova délka. Potom je šířka paprsku ve vzdálenosti z dána následujícím vzorcem:

w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{\lambda z}{\pi w_0^2}\right)^2}

Poloměr zakřivení

Závislost poloměru křivosti na souřadnici:

R(z) = z\left(1+\left(\frac{\pi w_0^2}{\lambda z}\right)^2\right)

Divergence paprsku

Tvořící čára tužky w(z) je hyperbola, jejíž asymptota je nakloněna k ose pod úhlem

\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0}

Tento úhel se rovná difrakčnímu úhlu základního vidu ve vzdálené zóně.

Celková úhlová divergence paprsku bude

\Theta = 2\theta

Režimy vyššího řádu

Gaussovy svazky jsou jen jedním z možných řešení rovnice paraxiální vlny. K simulaci laserových paprsků se používají kombinace různých ortogonálních řešení. V obecném případě, pokud je definován úplný základ řešení, lze jakýkoli svazek popsat jako superpozici řešení ze základu.

Poznámky

↑ P. V. Korolenko, Optika koherentního záření (nepřístupný odkaz) , učebnice.
↑ Osmá přednáška. GAUSSOVSKÉ PAPRSKY . scask.ru _ Staženo: 9. května 2022. (neurčitý)