Geometrická progrese

Geometrická posloupnost je posloupnost čísel , , , ( členů posloupnosti ), ve které každé následující číslo počínaje druhým získáme z předchozího členu vynásobením určitým číslem ( jmenovatelem posloupnosti). Zároveň [1] . $b_{1}$ $b_{2}$ $b_{3}$ $\ldots$ $q$ $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$

Popis

Pomocí vzorce lze vypočítat libovolný člen geometrické posloupnosti

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.

Jestliže a , progrese je rostoucí posloupnost , jestliže , je klesající posloupnost a pro , je to střídavá posloupnost [2] , pro , je stacionární . $b_{1}>0$ $q>1$ $0<q<1$ $q<0$ $q=1$

Progrese dostala své jméno podle své charakteristické vlastnosti :

|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},

to znamená, že modul každého členu se rovná geometrickému průměru jeho sousedů.

Příklady

Posloupnost oblastí čtverců , kde každý další čtverec je získán spojením středů stran předchozího čtverce, je nekonečná geometrická posloupnost se jmenovatelem 1/2. Plochy trojúhelníků získané v každém kroku také tvoří nekonečnou geometrickou progresi se jmenovatelem 1/2, jehož součet se rovná ploše počátečního čtverce [3] :8-9 .
Geometrická je posloupnost počtu zrn na buňkách v problému zrn na šachovnici .
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128, 256, 512, 1024 , 2048, 4096, 8192 - geometrický postup se jmenovatelem 2 ze třinácti členů.
padesáti; 25; 12,5; 6,25; 3,125; ... je nekonečně klesající geometrická progrese se jmenovatelem 1/2.
čtyři; 6; 9 je geometrická posloupnost tří prvků se jmenovatelem 3/2.
$\pi$ , , , je stacionární geometrická posloupnost se jmenovatelem 1 (a stacionární aritmetická posloupnost s rozdílem 0). $\pi$ $\pi$ $\pi$
3; -6; 12; -24; 48; … je alternující geometrická posloupnost se jmenovatelem −2.
jeden; -1; jeden; -1; jeden; … je alternující geometrická posloupnost se jmenovatelem −1.

Vlastnosti

Vzorec pro jmenovatele geometrické posloupnosti:

q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}

Důkaz

Podle definice geometrické posloupnosti.

Logaritmy členů geometrické posloupnosti (pokud jsou definovány) tvoří aritmetickou posloupnost .

Důkaz

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Vzorec pro běžný člen aritmetické posloupnosti je: . V našem případě ,. $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$

$a_{1}=\log(b_{1})$
$d=\log(q)$

$b_{{n}}^{2}=b_{{ni}}b_{{n+i}}$ pokud . $1<i<n$

Důkaz

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^ {n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{ni}b_{n+i}.$

Součin prvních n členů geometrické posloupnosti lze vypočítat pomocí vzorce $P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2)).$

Důkaz

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_ {1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Rozšiřme práci : Výraz je aritmetická posloupnost s krokem 1. Součet prvních n členů posloupnosti je Kde $\prod _{{i=1}}^{n}q^{{i-1}}$ $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^ {i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ $0+1+2+\ldots +(n-1)$ $a_{1}=0$ $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n} q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n) -1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1} b_{n}\right)^{\frac {n}{2)).$

Součin členů geometrické posloupnosti, počínaje k - tým členem a končícím n- tým členem , lze vypočítat podle vzorce $P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Důkaz

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i)){\ prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Součet prvních členů geometrické posloupnosti $n$ $S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n }}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1 \\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Důkaz

Důkaz přes součet: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_ {1}q^{i-1}=b_{1}+q\součet _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\součet _ {i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i- 1}-b_{1}q^{n}.$ To znamená, popř $\sum _{{i=1}}^{n}b_{1}q^{{i-1}}=b_{1}+q\sum _{{i=1}}^{n}b_{ 1}q^{{i-1}}-b_{1}q^{n}$ $\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n} .$ Kde $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q }}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$
Důkaz indukcí na . $n$ Nechat $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ Když máme: $n=1$ $S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q }}.$ Když máme: $n\rightarrow n+1$ $S_{n+1}=\součet _{i=1}^{n+1}b_{i}=\součet _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+ 1 }=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q ^ {n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n + 1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Součet všech členů klesající progrese:

\left|q\right|<1

, poté v , a

b_{n}\to 0

n\to +\infty

S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}

v .

n\to +\infty

Důkaz

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)} {1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}} {1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}} {1-q}}.$ Pokud tedy u Proto Proto $\left|q\right|<1,$ $q^{n}\to 0$ $n\to \infty .$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

Viz také

Poznámky

↑ Geometrická progrese Archivováno 12. října 2011 na Wayback Machine na mathematics.ru
↑ Geometrický postup // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Rowe S. Geometrické cvičení s kusem papíru . - 2. vyd. - Oděsa: Mathesis, 1923.

Slovníky a encyklopedie	Velký sovět (1 ed.) Britannica (online)