Mahlerova hypotéza

Mahlerova hypotéza je hypotézou metrické teorie klasifikace čísel o velikosti „míry transcendence“ téměř všech čísel. Zformuloval jej K. Mahler v roce 1932 [1] Prokázal V. G. Sprindzhuk v roce 1965 [2] [3]

Formulace

Zvažte aproximace nuly hodnotami celočíselných polynomů pro hodnoty argumentů , které jsou reálnými nebo komplexními čísly a pro pevné . Nazvěme výšku polynomu hodnotou a předpokládejme, že se zvětšuje. Označme . Zde se minimum přebírá všechny celočíselné polynomy stupně nejvýše , výšky nejvýše a s podmínkou . Označme . Nechť je transcendentální číslo. Zaveďme zápis: — pro reálná čísla, — pro komplexní čísla, , kde , , kde . ${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n))$ $\omega$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots ,\;|a_{n}|)$ $w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega )|$ $P$ $n$ $H$ $P(\omega )\neq 0$ $w_{n}(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty ))}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H )))}{\ln H))$ $w(\omega )={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\omega$ $\Theta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\eta _{n}(\omega )={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega )$ $\Theta (\omega )=\sup _{(n)}\Theta _{n}(\omega )$ $n=1,\;2,\;\ldots$ $\eta (\omega )=\sup _{(n)}\eta _{n}(\omega )$ $n=2,\;3,\;\ldots$

Mahlerova domněnka uvádí, že , [4] . $\Theta (\omega )=1$ $\eta (\omega )={\frac {1}{2))$

Důkaz

Důkaz je v článku [3] .

Poznámky

↑ Mahler K. Zur Approximation der Exponencialfunction und des Logarithmus // I, II J. reine und angew. Matematika. - 1932. - v. 166. - S. 118-136, 137-150.
↑ Sprindzhuk V. G. Důkaz domněnky K. Mahlera o míře množiny komplexních S -čísel // Uspekhi Mat . Nauk . - 1964. - T. 19, č. 2. - S. 191-194.
↑ 1 2 Sprindzhuk V. G. Důkaz Mahlerovy domněnky o míře množiny S -čísel // Izv. Akademie věd SSSR, s.r. rohož. - 1965. - V. 29, č. 2. - S. 379-436. - URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
↑ Sprindzhuk, 1967 , s. jedenáct.

Literatura

Sprindzhuk VG Mahlerův problém v metrické teorii čísel. - Minsk: Věda a technika, 1967. - 184 s.