Hodgeova domněnka byla formulována v roce 1941 a spočívá v tom, že pro typy prostorů nazývané projektivní algebraické variety jsou tzv. Hodgeovy cykly kombinací objektů, které mají geometrickou interpretaci – algebraické cykly . [jeden]
Ve 20. století vynalezli matematici výkonné metody pro studium tvaru složitých objektů. Hlavní myšlenkou je zjistit, do jaké míry se můžeme slepením jednoduchých těles rostoucího rozměru přiblížit tvaru daného předmětu . Tato metoda se ukázala jako účinná při popisu různých objektů, se kterými se setkáváme v matematice. Zároveň nebylo jasné geometrické odůvodnění metody : v některých případech bylo nutné přidat části, které neměly žádnou geometrickou interpretaci.
Podařilo se nám prokázat Hodgeovu domněnku pro některé speciální případy. Obecnější důkaz dosud nebyl nalezen a nebyl nalezen žádný důkaz o opaku.
Na jakékoli nedegenerované projektivní komplexní algebraické rozmanitosti je jakákoli Hodgeova třída racionální lineární kombinací tříd algebraických cyklů. [2]