Diofantní geometrie je přístup k teorii diofantických rovnic , který formuluje problémy z hlediska algebraické geometrie nad algebraicky neuzavřeným základním polem K , jako je pole racionálních čísel nebo konečné pole , nebo obecněji komutativní kruh , jako je kruh celých čísel. Rovnice identity definuje hyperplochu a stejným způsobem diofantická rovnice přechází k algebraické variantě V nad K. Typickou otázkou po povaze množiny V ( K ) bodů na V se souřadnicemi v K je otázka „velikosti“ množiny těchto řešení: zda takové body vůbec existují, zda je jejich počet konečný nebo nekonečný. . Pro geometrický přístup je zásadní shoda na homogenitě rovnic a homogenitě souřadnic . Řešení v racionálních číslech je hlavní konvencí[ specifikovat ] .
Jedním z charakteristických výsledků diofantické geometrie je Faltingsova věta , která říká, že množina racionálních bodů algebraické křivky C rodu g > 1 nad racionálními čísly je konečná . První výsledek diofantické geometrie by měl být pravděpodobně považován za Hilbert-Hurwitzův teorém, který analyzuje případ g = 0.
V roce 1962 vydal Serge Leng knihu „ Diophantine Geometry “, která představila materiál tradičním způsobem v diofantických rovnicích ve stupni a počtu proměnných. Kniha Diophantine Equations od Louise Mordella (1969) začíná poznámkou o homogenní rovnici f = 0 nad racionálním polem, připisované Gaussovi , že nenulová celočíselná řešení existují tehdy a jen tehdy, když existují nenulová racionální řešení, a poznámka k námitkám Linorda Dixona ohledně parametrických řešení. Výsledky Hilberta a Hurwitze získané v roce 1890, omezující diofantinskou geometrii křivek 0. druhu na mocniny 1 a 2 ( kuželosečky ), jsou popsány v kapitole 17, kde je formulováno zobecnění pro křivky g > 1 (později známé jako Mordellova domněnka a po důkazu tvrzení se stal teorémem Faltings). Siegelova věta o celočíselných bodech je probrána v kapitole 28. Mordell-Weilova věta o konečném počtu racionálních čísel na eliptické křivce je uvedena v kapitole 16 a o celých číslech na Mordellově křivce v kapitole 26. Mordell se negativně vyjádřil o geometrickém přístupu používaném Lengem.
Lengův koncept spoléhání se na geometrickou intuici však později získal oblibu a v roce 2006 byl nazýván „vizionářem“ [1] [2] .