Interval spolehlivosti pro normální výběrový rozptyl

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. června 2018; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Známý střední případ

Dovolit být nezávislý vzorek z normálního rozdělení , kde je známý průměr . Definujme libovolný a sestavme - interval spolehlivosti pro neznámý rozptyl . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\alpha \in[0,1]$ $\alpha$ $\sigma ^{2}$

Tvrzení. Náhodná hodnota

H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}

má distribuci . Nechť — je kvantil tohoto rozdělení . Pak máme: $\chi ^{2}(n)$ $\chi _{\alpha ,n}^{2}$ $\alpha$

\mathbb {P} \left(\chi _{1-{\frac {\alpha }{2)),n}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\right)=1-\alpha

Po dosazení výrazu za a jednoduchých algebraických transformací získáme: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\ frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i }-\mu )^{2)){\chi _{1-{\frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\right)=1-\alpha

Případ neznámého průměru

Nechť je nezávislý vzorek z normálního rozdělení, kde a jsou neznámé konstanty. Vytvořme interval spolehlivosti pro neznámý rozptyl . $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}} (\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma ^{2}$ $\sigma ^{2}$

Fisherův teorém pro normální vzorky . Náhodná hodnota

H={\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}

kde je nestranný výběrový rozptyl , má distribuci . Pak máme: $S^{2}$ $\chi ^{2}(n-1)$

\mathbb {P} \left(\chi _({\frac {\alpha }{2)),n-1}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{1-{\frac { \alpha }{2}},n-1}^{2}\right)=1-\alpha

Po dosazení výrazu za a jednoduchých algebraických transformací získáme: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}^ {2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {(n-1)S^{2)){\chi _({\frac {\alpha }{2)),n-1 }^{2}}}\right)=1-\alpha

Odkazy

http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_dôvery_interval_of_a_stand.htm _