De Morganovy zákony

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. dubna 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Morgenovy zákony (Morgenova pravidla ) jsou logická pravidla, která spojují dvojice logických operací pomocí logické negace . Pojmenován po skotském matematikovi Augustu de Morganovi . Krátce znějí takto:

Negace konjunkce je disjunkce negací. Negace disjunkce je konjunkcí negací.

Definice

Augustus de Morgan původně poznamenal, že v klasické výrokové logice platí následující vztahy :

ne (a a b) = (ne a) nebo (ne b) ne (a nebo b) = (ne a) a (ne b)

Symbolicky to lze zapsat takto:

{\begin{matrix}\neg {(a\wedge b)}=\neg {a}\vee \neg {b}\\\neg {(a\vee b)}=\neg {a}\wedge \ neg {b}\end{matrix}}

000nebo jinak:000

{\begin{matrix}\overline {(a\wedge b)}=\overline {a}\vee \overline {b}\\\overline {(a\vee b)}=\overline {a}\wedge \ overline {b}\end{matrix}}

V teorii množin :

{\begin{matice}\overline {A\cap B}=\overline {A}\cup \overline {B}\\\overline {A\cup B}=\overline {A}\cap \overline {B} \end{matrix}}

000nebo jinak:000

{\begin{matrix}(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C},\\(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}.\end{matrix}}

Tato pravidla platí také pro více prvků (rodin):

\overline {\bigcap _{{i\in I}}A_{i}}=\bigcup _{{i\in I}}\overline {A_{i}}

00000a .00000

\overline {\bigcup _{{i\in I}}A_{i}}=\bigcap _{{i\in I}}\overline {A_{i}}

V predikátovém počtu :

\neg \forall x\,P(x)\ekviv \existuje x\,\neg P(x),

\neg \existuje x\,P(x)\ekviv \forall x\,\neg P(x).

Důsledky:

Pomocí De Morganových zákonů lze vyjádřit konjunkci pomocí disjunkce a tří negací. Disjunkci lze vyjádřit podobně:

a\wedge b=\neg (\neg {a}\vee \neg {b})

a\vee b=\neg (\neg {a}\wedge \neg {b})

Ve formě věty :

Existuje-li úsudek vyjádřený operací logického násobení dvou nebo více prvků, tedy operace „a“ :, pak pro nalezení inverze celého úsudku je nutné najít inverzní hodnotu každého prvku. a zkombinujte je s operací logického sčítání , tedy operací „nebo » : . Zákon funguje obdobně v opačném směru: . ${\displaystyle {(A\wedge B)))$ ${\displaystyle {\neg (A\wedge B)))$ $(\neg {A}\vee \neg {B})$ $\neg (A\vee B)=(\neg {A}\wedge \neg {B})$

Aplikace

De Morganovy zákony platí v důležitých oblastech, jako je diskrétní matematika , elektrotechnika , fyzika a informatika ; například se používají k optimalizaci digitálních obvodů nahrazením některých logických prvků jinými.

Historie

Protikladný protiklad disjunktivního úsudku je konjunktivní úsudek složený z protikladných protikladů částí disjunktivního úsudku.

Původní text (anglicky)[ zobrazitskrýt] Protikladným opakem disjunktivního výroku je konjunktivní výrok složený z protikladů částí disjunktivního výroku. — Vilém z Ockhamu , Summa Logicae

Viz také

Vzorec zahrnutí-vyloučení

Odkazy

Weisstein, Eric W. De Morganovy zákony ve Wolfram MathWorld .

Zákony logiky

zákony

Hlavní	Zákon identity Zákon rozporu Zákon vyloučeného středu Zákon dvojí negace Pierceův zákon Zákon dostatečného důvodu
De Morganovy zákony Zákony deduktivního uvažování Claviův zákon

Principy a vlastnosti zákonů

Princip výbuchu
Monotónnost nakládání
Impotence přitažlivosti
Komutativnost konjunkce
Princip dělení