Pásová struktura grafenu

Pásová struktura grafenu byla vypočtena v roce 1947 v článku [1] . Na vnějším obalu atomu uhlíku jsou 4 elektrony, z nichž tři tvoří sp² hybridizované vazby se sousedními atomy v mřížce a zbývající elektron je ve stavu 2p z (tento stav je zodpovědný za tvorbu meziplanárních vazeb v grafitu ). Podle naší úvahy je zodpovědný za tvorbu grafenových energetických pásů.

Závěr

Při aproximaci silně vázaných elektronů lze celkovou vlnovou funkci všech elektronů v krystalu zapsat jako součet vlnových funkcí elektronů z různých podmřížek

\psi =\phi _{1}+\lambda \phi _{2},\qquad (1.1)

kde koeficient λ je parametr určený ze soustavy rovnic (1.6). Vlnové funkce a zahrnuté do rovnice , což ve významu znamenají amplitudy vlnových funkcí na určité podmřížce krystalu, budou zapsány jako součet vlnových funkcí jednotlivých elektronů v různých podmřížkách krystalu. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

\phi _{1}=\sum _{A}e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{A}}X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{A}),\qquad (1,2)

\phi _{2}=\sum _{B}e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{B}}X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{B}).\qquad (1.3)

Zde a jsou poloměrové vektory nasměrované do uzlů krystalové mřížky a a jsou vlnové funkce elektronů lokalizovaných v blízkosti těchto uzlů. Při aproximaci silně vázaných elektronů můžeme zanedbat překrývání vlnových funkcí sousedních atomů. ${\mathbf {r}}_{A}$ ${\mathbf {r}}_{B}$ $X({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{A})$ $X({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{B})$

S_{12}=\int {X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{A})X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{B})d\mathbf {r} }=0\qquad (1,4)

Nyní, dosazením naší vlnové funkce (1.1) do Schrödingerovy rovnice, získáme následující soustavu rovnic pro energetické spektrum nosičů a neznámý parametr λ $H\psi =E\psi$

H_{11}+\lambda H_{12}=ES+ES_{12}\lambda

H_{21}+\lambda H_{22}=\lambda ES+ES_{12}\qquad (1.5)

nebo v matricové formě

\left({\begin{array}{cc}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\\\end{array}}\right)\left({\begin {array}{cc}1\\\lambda \\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}ES&ES_{12}\\ES_{12}&ES\\\end {pole}}\right)\left({\begin{array}{cc}1\\\lambda \\\end{array}}\right)\qquad (1.6)

kde se pro integrály používá následující označení

H_{jj}=\int \phi _{j}^{*}H\phi _{j}d\mathbf {r} \qquad (1.7)

H_{12}=H_{21}^{*}=\int \phi _{1}^{*}H\phi _{2}d\mathbf {r} \qquad (1.8)

S=\int \phi _{j}^{*}\phi _{j}d\mathbf {r} \qquad (1.9).

Což lze vyřešit pro E .

E={\frac {1}{2S}}\left(H_{11}+H_{22}\pm {\sqrt {(H_{11}-H_{22})^{2}+4 |H_{12}|^{2}}}\vpravo)\qquad (1,9)

Zde lze provést určitá zjednodušení.

S=N,

H_{11}=H_{22},

H_{11}^{\,'}=H_{22}^{\,'}={\frac {1}{N}}H_{11}={\frac {1}{N}} H_{22},

H_{12}^{\,'}={\frac {1}{N}}H_{12},\qquad (1.10)

kde N je počet jednotkových buněk v krystalu. S těmito rovnostmi se dostáváme k rovnici

E=H_{11}^{\,'}\pm |H_{12}^{\,'}|\qquad (1.11)

Tuto rovnici také zjednodušíme tak, že se zbavíme prvního členu, který odpovídá určité konstantní energii a malé změně energie oproti druhému členu, což odpovídá překryvnému integrálu vlnových funkcí sousedních atomů ze stejné podmřížky. (A). Jinými slovy, interakce vlnové funkce centrálního atomu s vlnovými funkcemi atomů umístěných na červeném kruhu (viz obr. 1). Zajímá nás pouze singularita spektra spojená s druhým členem, která závisí na překrývajících se integrálech nejbližších atomů z různých podmřížek (A) a (B) (centrální atom a atomy na zeleném kruhu). Energetické spektrum bude zapsáno ve tvaru

E=\pm |H_{12}^{\,'}|\qquad (1.12)

Integrál překrytí může být reprezentován jako

\gamma _{0}=-\int {X^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {\rho } )HX(\mathbf {r} )d\mathbf {r} },\ qquad(1,13)

kde je vektor poloměru směrovaný k pozicím nejbližších sousedů. Pro veličinu po dosazení vlnových funkcí (1.2) a (1.3) do výrazu (1.8) získáme $\mathbf {\rho }$ ${\displaystyle H_{12}^{\,'))$

H_{12}^{\,'}={\frac {1}{N}}\sum _{A,B}{\exp {[-2\pi i\mathbf {k} \cdot ( \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B})]}\int {X^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{A})HX(\ mathbf {r} -\mathbf {r} _{B})d\mathbf {r} }}.\qquad (1.14)

Odkud po určitých zjednodušeních a pomocí souřadnic pro nejbližší sousedy (1.3) získáme

H_{12}^{\,'}=-\gamma _{0}\left(\exp {[-2i\pi k_{x}(a/{\sqrt {3)))]}+ 2\cos {\pi k_{y}a}\exp {[2i\pi k_{x}(a/{\sqrt {3)))]}\right).\qquad (1,15)

V důsledku toho se dostáváme k energetickému spektru, které nás zajímá

E=\pm {\sqrt {\gamma _{0}^{2}\left(1+4\cos ^{2}{\pi k_{y}a}+4\cos {\pi k_ {y}a}\cos {\pi k_{x}{\sqrt {3}}a}\right)))),\qquad (1.16)

kde znaménko „+“ odpovídá elektronům a „-“ dírám.

Viz také

Poznámky

↑ Wallace PR "The Band Theory of Graphite", Phys. Rev. 71 , 622 (1947) doi : 10.1103/PhysRev.71.622