Jacobiho integrál

V nebeské mechanice je Jacobiho integrál jedinou známou konzervovanou veličinou v omezeném kruhovém problému tří těles. [1] Na rozdíl od problému dvou těles se energie a moment soustavy neukládají odděleně a nelze získat obecné analytické řešení. Jacobiho integrál se používá k získání numerického řešení v jednotlivých případech.

Definice

Synodický systém

Jedním vhodným souřadnicovým systémem je takzvaný synodický systém s počátkem v barycentru , přičemž přímka spojující hmoty μ 1 a μ 2 je zvolena jako osa x a vzdálenost mezi nimi je zvolena jako jednotka vzdálenosti. Protože se systém otáčí společně s tělesy, zůstávají nehybná a nacházejí se v bodech se souřadnicemi (− μ 2 , 0) a (+ μ 1 , 0) 1 .

V souřadnicovém systému ( x , y ) je Jacobiho konstanta

C_{J}=n^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+ {\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\tečka {x}}^{2}+{\tečka {y}}^{2}+{ \dot {z}}^{2}\right),

kde:

$n={\frac {2\pi }{T))$ je střední pohyb ( oběžná doba T),
$\mu _{1}=Gm_{1}\,\!,\mu _{2}=Gm_{2}\,\!$ , pro dvě hmotnosti m 1 , m 2 a gravitační konstantu G ,
$r_{1}\,\!,r_{2}\,\!$ jsou vzdálenosti od testovací částice ke dvěma masivním tělesům.

Všimněte si, že Jacobiho integrál se rovná minus dvojnásobku celkové energie na jednotku hmoty v rotující vztažné soustavě: první termín se vztahuje na odstředivou potenciální energii, druhý na gravitační potenciál a třetí na kinetickou energii. V tomto referenčním rámci síly působící na částici zahrnují dvě gravitační síly od těles, odstředivou sílu a Coriolisovu sílu . Protože první tři síly lze vyjádřit pomocí potenciálů a poslední je kolmá na trajektorii, jsou všechny konzervativní, takže energie naměřená v daném systému energie (proto Jacobiho integrál) je zachována.

Siderický systém

V inerciální (hvězdné) vztažné soustavě ( ξ , η , ζ ) se hmoty točí kolem barycentra. V tomto souřadnicovém systému má Jacobiho konstanta tvar

C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\ vpravo)+2n\left(\xi {\tečka {\eta }}-\eta {\tečka {\xi }}\vpravo)-\left({\tečka {\xi }}^{2}+{\ tečka {\eta }}^{2}+{\tečka {\zeta }}^{2}\vpravo).

Závěr

V synodickém systému mohou být zrychlení reprezentována jako derivace skalární funkce

U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})+{\frac {\mu _{1} }{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}.

Zvažte Lagrangeovy rovnice pro pohyb tělesa:

{\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x)),

{\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y)),

{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z)),

Po vynásobení rovnic a po sečtení všech tří výrazů získáme rovnost ${\tečka {x}},{\tečka {y}}$ ${\tečka {z))$

{\tečka {x}}{\ddot {x}}+{\tečka {y}}{\ddot {y}}+{\tečka {z}}{\ddot {z}}={\ frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U} {\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}.

Po integraci získáme výraz

{\dot {x}}^{2}+{\tečka {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J},

kde C J je konstanta integrace.

Levá strana rovnice je druhá mocnina rychlosti v testovací částice v synodické vztažné soustavě.

1 Tento souřadnicový systém je neinerciální, což vysvětluje výskyt pojmů spojených s odstředivou silou a Coriolisovou silou.

Poznámky

↑ Bibliothèque nationale de France Archivováno 2. února 2017 na Wayback Machine . Jacobi, Carl GJ Sur le movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps (francouzsky) // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris :časopis. - 1836. - Sv. 3 . - str. 59-61 .

Literatura

Carl D. Murray a Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Anglie: Cambridge University Press, 1999], strany 68–71. ( ISBN 0-521-57597-4 )