Čtverec (algebra)

Druhá mocnina čísla je výsledkem násobení čísla samo o sobě: . Označení: . $X$ $x\cdot x$ $x^{2}$

Výpočet je matematická operace zvaná kvadratura . Tato operace je speciálním případem umocňování , konkrétně zvýšením čísla na 2. $x^{2}$ $X$

Následuje začátek číselné řady pro druhé mocniny nezáporných celých čísel (sekvence A000290 v OEIS ):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 469, 445 7 7 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 173641, 1,2 0,2, 0,2

Historicky se přirozená čísla z této posloupnosti nazývala „čtvercová“ .

Metody prezentace

Druhá mocnina přirozeného čísla může být reprezentována jako součet prvních lichých čísel : $n$ $n$

jeden:

1=1

2:

4=1+3

…
7:

49=1+3+5+7+9+11+13

…

Další způsob, jak znázornit druhou mocninu přirozeného čísla: Příklad:
$n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n$

jeden:

1=1

2:

4=1+1+2

…
čtyři:

16=1+1+2+2+3+3+4

…

Součet druhých mocnin prvních přirozených čísel se vypočítá podle vzorce: $n$
$\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\ frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Závěr

Metoda 1, metoda lití:

Uvažujme součet krychlí přirozených čísel od 1 do :

n+1

\sum _{{k=1}}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)^ {3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{{k=0}}^{n} k^{3}+\součet _{{k=0}}^{n}3k^{2}+\součet _{{k=0}}^{n}3k+\součet _{{k=0} }^{n}1=\součet _{{k=0}}^{n}k^{3}+3\součet _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\ součet _{{k=0}}^{n}k+\součet _{{k=0}}^{n}1

Dostaneme:

(n+1)^{3}=3\součet _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\součet _{{k=0}}^{n}k+\součet _ {{k=0}}^{n}1=3\součet _{{k=0}}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}} +(n+1)

Vynásobte 2 a uspořádejte:

6\součet _{{k=0}}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1 )(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

(Ve zdůvodnění byl použit vzorec: , jehož odvození je podobné uvedenému)

\sum _{{k=0}}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}

Metoda 2, metoda neznámých koeficientů:

Všimněte si, že součet mocninných funkcí lze vyjádřit jako mocninnou funkci. Na základě této skutečnosti předpokládejme:

N

N+1

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D

f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14

Získáme soustavu lineárních rovnic s ohledem na požadované koeficienty:

{\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\ \end{cases}}

Když to vyřešíme, dostaneme

A={\frac {1}{3)),B={\frac {1}{2)),C={\frac {1}{6)),D=0

Takto:

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2} }n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Druhá mocnina komplexního čísla

Druhou mocninu komplexního čísla v algebraickém tvaru lze vypočítat pomocí vzorce:

\left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.

Podobný vzorec pro komplexní číslo v goniometrickém tvaru je:

\left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\ phi}\vpravo).

Geometrický smysl

Druhá mocnina čísla se rovná ploše čtverce se stranou rovnou tomuto číslu.

Literatura

Graham R., Knut D., Patashnik O. — Konkrétní matematika. Základy informatiky. Za. z angličtiny. -M.: Mir, 1998. -703 s.

Viz také

Odebrání druhé odmocniny je inverzní operace kvadratury.
číslo umocněné na druhou
číslo kostky
Generalizace na vyšší stupně u Wolfram Archivováno 2. července 2012 na Wayback Machine .