Kinematika kontinua

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Kinematika spojitého prostředí (z jiného řeckého κίνημα - pohyb) je úsek kinematiky , který studuje pohyb spojitého prostředí (modely deformovatelného tělesa, kapaliny nebo plynu), aniž by se zabýval příčinami, které jej způsobují. Vzhledem k relativitě pohybu je povinné uvádět vztažnou soustavu, vůči níž je pohyb popsán.

Model kontinua

Model pracuje s konceptem elementárního objemu , který je malý ve srovnání s charakteristickou velikostí problému, ale ve kterém je mnoho částic (atomů, molekul atd.), které spolu interagují . Střední volná dráha (průměrná vzdálenost, kterou částice urazí mezi srážkami) by měla být mnohem menší než charakteristická velikost . Takový model lze popsat částicemi spojitého prostředí — elementárními objemy spojitého prostředí, ve kterých lze charakteristiky spojitého prostředí (souboru částic uvažovaného objektu) považovat za konstantní. $dV$ $dV$

Lagrangian a Euler přístupy pro popis kontinua

Pro identifikaci částic spojitého média je nutné je očíslovat. Vzhledem k trojrozměrnosti prostoru se používají tři proměnné . Takové identifikační parametry částic média se nazývají Lagrangeovy (neboli materiálové) souřadnice . Jako Lagrangeovy souřadnice lze zvolit například kartézské souřadnice částic v určitém časovém okamžiku . Obecně řečeno, způsob "číslování" částic média může být libovolný. $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\tau$

Souřadnice bodů prostředí v prostorovém souřadnicovém systému se nazývají Eulerovy (neboli prostorové) souřadnice . Řešením problému kinematiky spojitého prostředí je stanovení souřadnic hmotné částice v libovolném čase, to znamená nalezení funkcí nebo funkcí , které spojují každou částici s její polohou v čase. $(x_1, x_2, x_3)$ $(x_1, x_2, x_3)$ $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ ${\displaystyle x_{i}=f(t,\xi _{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$ ${\displaystyle \xi _{i}=g(t,x_{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$

Libovolnou funkci popisující vlastnosti částic ve spojitém prostředí ( hustotu , teplotu , zrychlení atd.) lze definovat jako funkci Lagrangových souřadnic ( Lagrangův přístup ) nebo funkci Eulerových souřadnic ( Eulerovský přístup ). $\rho (t,\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\rho (t,x_{1},x_{2},x_{3})=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta M(\cdot )}{\Delta PROTI}}$

Pro jakoukoli funkci v Eulerových proměnných $f(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\displaystyle {\frac {df}{dt))={\frac {\partial f}{\partial t))+v_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))} +v_{2}{\frac {\částečné f}{\částečné x_{2))}+v_{3}{\frac {\částečné f}{\částečné x_{3))))

Trajektorie částice je vždy místem jejích pozic. Dráhu částice určuje pohybový zákon

Proudnice v časovém bodě je křivka, jejíž směr tečny v každém bodě se shoduje se směrem vektoru rychlosti spojitého média v tomto časovém bodě. Proudnice jsou určeny z rovnic $\tau$ ${\vec {v}}(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\frac {dx_{1}}{v_{1}(\tau ,x_{i})}}={\frac {dx_{2}}{v_{2}(\tau ,x_{i })}}={\frac {dx_{3}}{v_{3}(\tau ,x_{i})}}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Cauchy-Helmholtzův vzorec

Cauchy-Helmholtzův vzorec uvádí do vztahu rychlost částic média v bodě nacházejícím se v malém sousedství nějakého bodu , pokud je známa rychlost částic v daném bodě . $A$ $O(x_{1},x_{2},x_{3})$ $Ó$

{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}

kde je tenzor rychlosti deformace, a je tenzor malého napětí a je vektor víru. ${\hat {E}}=(e_{ij})$ ${\hat {\varepsilon }}=(e_{ij}\,dt)$ ${\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}={\vec {\omega }}$

Důkaz

Bod je znázorněn jako $A$

A(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2},x_{3}+\Delta x_{3})

V lineární aproximaci

v_{i}(t,{\vec {x}}_{O}+\Delta {\vec {x}})-v_{i}(t,{\vec {x}}_{O })={\frac {\částečné v_{i}}{\částečné x_{1}}}\Delta x_{1}+{\frac {\částečné v_{i}}{\částečné x_{2}}} \Delta x_{2}+{\frac {\částečné v_{i}}{\částečné x_{3}}}\Delta x_{3}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

, nebo přes operátora nabla : .

\Delta v_{i}(t,{\vec {x}}_{O})={\vec {r}}\cdot \nabla v_{i}{\Big |}_{i=1 ,2,3}

\left({\vec {r}}={\overrightarrow {OA}}\right)

Posunutí bodu relativně má tvar , shora nebo souřadnicově $A$ $Ó$ $d{\vec {r}}=({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{O})dt$ $d{\vec {r}}=({\vec {r}}\nabla ){\vec {v}}\,dt$

dr_{i}=\sum _{j=1,2,3}\left({\frac {\partial v_{i)){\partial r_{j))}\cdot r_{j}\ right)dt{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Lze přepsat

dr_{i}=\sum _{j}(e_{ij}r_{j}+f_{ij}r_{j})dt

kde

e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial r_{j}}}+{\frac {\partial v_{ j}}{\částečné r_{i}}}}\vpravo)

, _

f_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{r_{j}}}-{\frac {\partial v_{j} }{\částečné r_{i}}}}\vpravo)

Po konverzi

\sum _{j}f_{ij}r_{j}=\left[{\frac {1}{2))(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec { r}}\right]_{i}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Ukazuje se Cauchy-Helmholtzův vzorec:

d{\vec {r}}={\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times { \vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt

Tedy , nebo pro rychlosti: . $d{\vec {r}}_{A}=d{\vec {r}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left ({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt$ ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}$

Čistá deformace

Případ čisté deformace nastává při absenci rotační části pohybu . V hlavním souřadnicovém systému (v odpovídajících hlavních osách) platí: $(\nabla \times {\vec {v}}=0)$

{\hat {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{pmatrix}}

Podle Cauchyho-Helmholtzova vzorce . $d{\vec {r}}=\varepsilon _{1}r_{1}{\vec {e}}_{1}+\varepsilon _{2}r_{2}{\vec {e} }_{2}+\varepsilon _{3}r_{3}{\vec {e}}_{3}$

V případě čisté deformace přecházejí body malé částice spojitého prostředí, ležící v tuto chvíli na kouli o poloměru , dále do elipsoidu , zvaného deformační elipsoid . Body částice spojitého média ležící na hlavních osách deformace zůstanou po deformaci na stejných osách a budou se po nich pouze posouvat. $t$ $A$ $\left(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}=a^{2}\right)$ $dt$

Délky hlavních os elipsoidu jsou popsány pomocí kořenů . ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3))$ $a^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{1}\,dt)),\;b^{2}={\frac {R^{2}} {1-2e_{2}\,dt)),\;c^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{3}\,dt}}$

Homogenní deformace

V případě , že , které určují čistou deformaci a rotaci částice jsou konstantní, nazýváme deformaci homogenní. ${\hat {E)),\;{\vec {\omega }}$

Pro rovnoměrnou deformaci:

Body prostředí ležící na rovině nebo na přímce zůstávají po deformaci na určité rovině nebo na přímce;
Směry hlavních os deformace pro jakýkoli bod média budou stejné;
Jestliže v určitém okamžiku je to stejné ve všech bodech média, pak v tomto okamžiku je to stejné ve všech bodech média. ${\hat {E}}$ $\vec\omega$

Podmínka konzistence

Podle definice mají tyto tenzory pouze 6 různých složek. Těchto 6 složek stále není nezávislých, protože jsou vyjádřeny ve třech složkách rychlosti . Na základě závislosti splňují vztahy, které se nazývají podmínky kompatibility Saint-Venant: ${\displaystyle e_{ij}=e_{ji))$ $(v_{1},v_{2},v_{3})$

{\frac {\partial ^{2}e_{ij)){\partial x_{k}\partial x_{l))}={\frac {\partial ^{2}e_{kl)){ \částečné x_{i}\částečné x_{j))}={\frac {\částečné ^{2}e_{kj)){\částečné x_{i}\částečné x_{l))}={\frac { \částečné ^{2}e_{il}}{\částečné x_{k}\částečné x_{j}}}{\Bigg |}_{i,j,k,l=1,2,3}

Z těchto 81 rovnic je pouze 6 nezávislých.

Literatura

Přednášky z mechaniky kontinua, M. E. Eglit, Přednáška 1, 7-11
Mechanika kontinua, L. I. Sedov, svazek 1, kapitola 2