Komutativnost

Komutativnost , komutativní zákon ( pozdně latinsky commutativus - měnící se) - vlastnost binární operace " ", která spočívá v možnosti přeskupování argumentů: $\circ$

x\circ y=y\circ x

pro jakékoli prvky .

x,\;y

Zejména, pokud je skupinová operace komutativní, pak se o skupině říká, že je abelovská . Pokud je operace násobení v kruhu komutativní, pak se o kruhu říká, že je komutativní.

Termín „komutativnost“ zavedl v roce 1815 francouzský matematik François Joseph Servois .

Příklady:

součet a součin reálných čísel jsou komutativní: $a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R}$ .
konjunkce a disjunkce jsou komutativní: $a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a$ .
sjednocení , průnik a rozdíl symetrických množin jsou komutativní: $A \cup B = B \cup A; \quad A \cap B = B \cap A; \quad A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A.$

Mnoho binárních operací je asociativních , ale obecně nekomutativních, jako je například násobení matic :

\tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​​​\tbinom{2\ 9}{6\ 1} = \tbinom{34\ 49}{16\ 72}

, ale

\tbinom{2\ 9}{6\ 1} \tbinom{5\ 4}{8\ 0} ​​​​= \tbinom{82\ \,8\,}{38\ 24}

a zřetězení řetězců :

"a" + "b" = "ab", ale "b" + "a" = "ba".

Navíc ne každá komutativní operace je asociativní (existují komutativní magmata s neasociativní operací).

Existuje řada zobecnění konceptu komutativnosti pro operace s více než dvěma argumenty (různé varianty symetrie).

Komutativní operace tvoří rozsáhlou vrstvu algebraických struktur , které mají mnoho „dobrých“ vlastností, které nejsou vlastní nekomutativním strukturám (například komutativní grupy ve srovnání s neabelovskými ), v mnoha odvětvích matematiky se používá technika tzv. redukce problémů na komutativní struktury se používá jako pro studovanější a pohodlnější vlastnosti. Komutativní algebra je obecný algebraický směr, který studuje vlastnosti komutativních kruhů a souvisejících komutativních objektů ( moduly , ideály , dělitele , pole ).

Odkazy

Komutativnost // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
Komutativnost - článek z Encyklopedie matematiky . D. M. Smirnov