Caenova konstanta

Caenova konstanta je součtem střídavých číselných řad sestavených ze členů Sylvesterovy řady :

C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2} }+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots

kde je -tý prvek Sylvesterovy posloupnosti. Přibližná hodnota je 0,64341054629 . $s_{i}$ $i$

Je pojmenována po francouzském matematikovi Eugène Cahenovi , který tuto řadu poprvé studoval ( fr. Eugène Cahen ) [1] .

Lze jej získat jako součet řady s pevným znaménkem tvořeným členy, které jsou inverzní k sudým členům Sylvesterovy posloupnosti (sekvence aproximací chamtivého algoritmu pro egyptské zlomky ):

C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{ 1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots

Konstanta je transcendentální [2] , navíc je to jedno z mála transcendentálních čísel, u kterých je znám úplný pokračování zlomku - pro posloupnost 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... [ 3] , definovaný rekurzivní rovnicí , pokračující zlomek , odpovídající Cahenově konstantě, je reprezentován následovně [2] : ${\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n))$

[0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]

Poznámky

↑ Cahen, 1891 .
↑ 12 Davison, Shallit , 1991 .
↑ OEIS sekvence A006279 _

Literatura

Eugene Cahen. Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en zlomky pokračuje // Nouvelles Annales de Mathématiques . - 1891. - T. 10 . — S. 508–514 .
J. Les Davison, Jeffrey O. Shallit. Pokračující zlomky pro některé střídavé řady // Monatshefte fur Mathematik. - 1991. - T. 111 , čís. 2 . — S. 119–126 . - doi : 10.1007/BF01332350 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Cahen's Constant (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Cahenova konstanta na 4000 číslic . Plouffeův střídač . Université du Québec v Montrealu . Získáno 19. března 2011. Archivováno z originálu 17. března 2011. (neurčitý)