Landau-Ramanujanova konstanta

V matematice je Landau-Ramanujan konstanta výsledkem teorie čísel o hustotě součtů dvou čtverců celých čísel na číselné ose. Tato věta byla nezávisle prokázána Edmundem Landauem a Srinivasou Ramanujanem .

Věta o hustotě pro součty dvou čtverců

Jestliže je počet celých čísel v segmentu , která jsou součtem dvou celých čísel na druhou, pak $N(x)$ $[1,\;x]$

N(x)={\frac {Cx}{\sqrt {\ln(x)))}(1+o(1)),

kde je Landauova-Ramanujanova konstanta úměrnosti: $C$

C=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\cca 0{,}764\;223\ ;653\;589\;220\;662\;990\;698\;731\;25.

Přesnost aproximace celého čísla součtem dvou čtverců

Z Landau-Ramanujanovy věty vyplývá, že s rostoucí průměrnou chybou aproximace celého čísla z intervalu od 1 do součtu dvou druhých mocnin celých čísel není menší než . Dnes známý triviální odhad chyby takové horní aproximace (2013) je mnohem větší — . Od dob Eulerových existuje dohad [1] , že $X$ $X$ ${\frac {\sqrt {\ln(x)}}{2C}}(1+o(1))$ $O(x^{1/4})$

\min _{u,\;w\in \mathbb {Z} }|xu^{2}-w^{2}|\leqslant x^{\varepsilon },

kde je nějaký, . $\varepsilon>0,\;\varepsilon$ $x\geqslant x_{1}(\varepsilon )$

Tento problém je zobecněním Waringova problému .

Kritéria pro možnost přesné reprezentace

Číslo může být reprezentováno ve tvaru ( a jsou celá čísla) právě tehdy, když všechna prvočísla tohoto tvaru jsou zahrnuta v kanonickém rozkladu čísla se sudým stupněm. [2] $A$ $s^{2}+t^{2}=a$ $s$ $t$ $4k+3$

Tento výsledek byl poprvé získán Fermatem a prokázán Eulerem .

Poznámky

↑ Moderní. prob. Mat., 2008, číslo 11
↑ K. Chandrasekharan. Úvod do analytické teorie čísel . — Svět, 1968.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Landau–Ramanujan Constant (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
sekvence A064533 v OEIS