Moment síly

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. ledna 2022; kontroly vyžadují 6 úprav .
Moment síly
Dimenze L 2 MT -2
Jednotky
SI Nm
GHS Dina - centimetr
Poznámky
Pseudovector

Moment síly ( moment síly vzhledem k bodu ) je vektorová fyzikální veličina , která charakterizuje působení síly na mechanický předmět, který může způsobit jeho rotační pohyb. Je definován jako křížový součin vektoru poloměru bodu působení síly a vektoru síly . Momenty sil vznikajících za různých podmínek v technologii mohou mít názvy: kroutící moment, rotační moment, kroutící moment, kroutící moment, kroutící moment .

Moment síly je označen symbolem nebo vzácněji (tau).

Jednotka SI : N⋅m . Na volbě počátku poloměrových vektorů O závisí velikost momentu síly.

Pojem moment síly se používá zejména v oblasti statiky a úloh souvisejících s rotací součástí ( páky apod.) v technické mechanice . Důležitý je zejména případ rotace tuhého tělesa kolem pevné osy - pak se na této ose volí O a místo samotného momentu se uvažuje jeho průmět na osu ; taková projekce se nazývá moment síly kolem osy .

Přítomnost momentu síly znamená změnu momentu hybnosti tělesa vzhledem ke stejnému začátku O s časem : vztah se uskuteční . Ve statice je rovnost součtu momentů všech sil působících na těleso k nule jednou z podmínek (spolu s rovností součtu sil k nule) pro realizaci klidového stavu.

Definice, obecné informace

Ve fyzice moment síly hraje roli rotačního účinku na tělo.

V nejjednodušším případě, pokud síla působí na páku kolmo k ní a ose otáčení, je moment síly definován jako součin velikosti vzdálenosti od místa působení síly k ose rotace. rotace páky, nazývaná „rameno síly“:

.

Například síla 3 newtony aplikovaná ve vzdálenosti 2 m od osy vytvoří stejný moment jako síla 1 newtonu s ramenem 6 m.

Působí-li dvě síly, hovoří o momentu dvojice sil (tato formulace sahá až k pracím Archimédovým ). V tomto případě je dosaženo rovnováhy v situaci .

Pro případy složitějších pohybů a složitějších objektů vyžaduje definice okamžiku jako produktu univerzalizaci.

Moment síly je někdy označován jako moment nebo moment. „Otáčivým“ momentem se v technice rozumí vnější síla působící na předmět a „momentovým“ momentem se rozumí vnitřní moment, který vzniká v objektu samotném působením působících zatížení (tento pojem se používá v pevnosti materiály ).

Moment síly kolem bodu

V obecném případě je moment síly působící na těleso definován jako vektorový součin

,

kde  je vektor poloměru bodu působení síly. Vektor je kolmý na vektory a .

Počátek poloměrových vektorů O může být jakýkoli. Obvykle se O volí ve vybraném bodě: v místě, kde je zavěšení upevněno, v těžišti, na ose rotace atd. Pokud je moment hybnosti tělesa analyzován současně , pak je počátek O vždy vybrána jako stejná pro a .

Pokud není uvedeno jinak, „moment síly“ je moment síly kolem bodu (O), nikoli nějaké osy.

V případě několika působících soustředěných sil se jejich momenty vektorově sečtou:

,

kde je vektor poloměru bodu působení th síly . V případě síly rozložené s hustotou ,

.

Jestliže (N/m 3 ) je zobecněná funkce, která může obsahovat také členy podobné deltě, pak poslední dva vzorce pokrývají dva předchozí.

Moment síly kolem osy

Moment síly kolem osy je algebraická hodnota průmětu momentu na osu, tzn.

,

kde je jednotkový vektor podél osy a počátek O je vybrán na ose. Moment síly kolem osy lze vypočítat jako

,

kde a jsou složky vektoru poloměru a síly v rovině kolmé k ose.

Na rozdíl od momentu síly se velikost momentu síly kolem osy nemění, když se bod O posune podél osy.

Pro stručnost lze symbol rovnoběžnosti a znak vynechat a (jako ) je nazývat „moment síly“.

Jednotky měření

Moment síly má rozměr „síla násobená vzdáleností“ a jednotkou měření je newtonmetr v soustavě SI . 1 Nm je moment vyvolaný silou 1 N na páku o délce 1 m, působící na konec páky a směřující kolmo k ní.

Formálně se rozměr (N m) shoduje s rozměry energie a mechanické práce . Ale použití jednotky "joule" v tomto kontextu je nežádoucí, protože to zakrývá fyzikální význam.

Některé příklady

Vzorec momentu páky

Moment síly působící na páku je

nebo, když napíšeme moment síly kolem osy,

,

kde je úhel mezi směrem síly a pákou. Pákový efekt je stejný . Maximální hodnoty momentu je dosaženo, když jsou páka a síla kolmé, tedy v . Při ko -směru a páce je moment roven nule.

Statická rovnováha

Aby byl objekt v rovnováze, musí být nulový nejen součet všech sil, ale také součet momentů všech sil kolem libovolného bodu.

Pro dvourozměrný případ s horizontálními a vertikálními silami je požadavkem, aby součet sil ve dvou rozměrech byl nulový: a moment síly ve třetím rozměru: .

Pohyb tuhého tělesa

Pohyb tuhého tělesa lze znázornit jako pohyb určitého bodu a rotaci kolem něj.

Moment hybnosti vzhledem k bodu O tuhého tělesa lze popsat součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti vzhledem k těžišti a lineárním pohybem těžiště.

Budeme uvažovat rotační pohyby v Koenigově souřadnicovém systému , protože je mnohem obtížnější popsat pohyb tuhého tělesa ve světovém souřadnicovém systému.

Rozlišujme tento výraz s ohledem na čas. A pokud  je konstantní v čase, pak

kde  - úhlové zrychlení , měřené v radiánech za sekundu za sekundu (rad/s 2 ). Příklad: Jednotný disk se otáčí.

Pokud se tenzor setrvačnosti mění s časem, pak pohyb kolem těžiště je popsán pomocí Eulerovy dynamické rovnice:

Vztah k jiným veličinám

S momentem hybnosti

Moment síly je derivace momentu hybnosti  vzhledem k bodu O s ohledem na čas:

,

Podobný vzorec lze napsat pro momenty kolem osy:

.

Pokud je moment síly nebo nulový, moment hybnosti kolem odpovídajícího bodu nebo osy je zachován .

S výkonem

Pokud síla koná akci na jakoukoli vzdálenost, pak vykonává mechanickou práci a vyvíjí sílu (kde je rychlost hmotného bodu). Stejné je to v případě momentu síly: pokud vykonává akci přes „úhlovou vzdálenost“, vyvíjí se síla

.

V soustavě SI se výkon měří ve wattech a úhlová rychlost  se měří v radiánech za sekundu .

S mechanickou prací

Pokud se při působení momentu síly těleso otočí o úhel , je vykonána mechanická práce

.

Dostaneme , řekněme, páku kolem pevné osy o úhel

.

V soustavě SI se práce měří v joulech a úhly se měří v radiánech .

Dimenze práce (a energie) se shoduje s dimenzí momentu síly („newtonmetr“ a joule jsou stejné jednotky). Moment síly 1 N m, když se páka nebo hřídel pootočí o 1 radián, vykoná práci 1 J a při otočení o jednu otáčku vykoná mechanickou práci a předá joulovou energii.

Měření momentu síly

Měření momentu síly se provádí pomocí speciálních přístrojů - torziometrů . Princip jejich činnosti je většinou založen na měření úhlu natočení pružného hřídele, který přenáší krouticí moment, nebo na měření deformace některé pružné páky. Měření úhlu deformace a zkroucení se provádí různými tenzometry - tenzometrickými , magnetoelastickými , ale i malými posuvoměry - optickými, kapacitními , indukčními , ultrazvukovými , mechanickými.

Existují speciální momentové klíče pro měření utahovacího momentu závitových spojů a nastavitelné i nenastavitelné omezovače momentu, tzv. „ráčny“ používané v klíčích , šroubovácích , šroubových mikrometrech atd .

Z historie konceptu

Abychom pochopili, kde se vzal koncept momentu sil a jak k němu přišli, stojí za to zvážit působení síly na páku, která se otáčí kolem pevné osy. Práci vykonanou při působení síly na páku , která se otáčí kolem pevné osy, lze vypočítat na základě následujících úvah.

Nechť je při působení síly konec páky posunut o nekonečně malý segment , který odpovídá nekonečně malému úhlu . Označme vektorem, který směřuje podél nekonečně malého segmentu a je mu roven v absolutní hodnotě. Úhel mezi vektory a je , a úhel mezi vektory a  je .

Proto je nekonečně malá práce vykonaná silou na nekonečně malém řezu rovna skalárnímu součinu vektoru a vektoru síly, tedy .

Nyní se pokusíme vyjádřit modul vektoru pomocí vektoru poloměru a projekci vektoru síly na vektor  pomocí úhlu .

Protože pro nekonečně malý pohyb páky , můžeme předpokládat, že trajektorie pohybu je kolmá k páce , pomocí vztahů pro pravoúhlý trojúhelník můžeme napsat následující rovnost: , kde v případě malého úhlu a , tedy .

Pro projekci vektoru síly na vektor je vidět, že úhel , a protože , dostaneme ten .

Nyní zapišme nekonečně malou práci z hlediska nových rovnosti: , nebo .

Je vidět, že součin není nic jiného než modul vektorového součinu vektorů , a to znamená , který byl označen jako moment síly , neboli modul vektoru momentu síly .

Nyní je kompletní práce napsána jednoduše: , nebo .

Viz také