Vitaliho lemma na obálkách

Vitaliho krycí lemma je kombinatorický geometrický výsledek. Široce používaný v teorii míry .

Toto lemma se používá v důkazu Vitaliho krycí věty , ale je také zajímavé samo o sobě. Pojmenován po italském matematikovi Giuseppe Vitalim .

Formulace

Finální verze

Nechť je konečná množina kuliček obsažených v d - rozměrném euklidovském prostoru R d (nebo obecněji v libovolném metrickém prostoru ). Pak existuje podmnožina těchto kuliček, ve kterých jsou koule párově disjunktní, a ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n))$ $B_{j_{1)),B_{j_{2)),\tečky ,B_{j_{m))$

B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_ {m}},

kde označuje kouli se stejným středem jako y, ale s trojnásobkem poloměru. $3B_{j_{k))$ $B_{j_{k))$

Nekonečná verze

Nechť je libovolná (spočetná nebo nepočitatelná) množina koulí v R d (nebo obecněji v metrickém prostoru) taková, že ${\displaystyle \{B_{j}\mid j\in J\))$

\sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j})\mid j\in J\}<\infty ,

kde značí poloměr koule B j . Pak pro všechny existuje spočetná podmnožina $\mathrm {rad} (B_{j})$ $k>3$

\{B_{j}\mid j\in J'_{k}\},\quad J'_{k}\subset J,

párově disjunktní koule tak, že

\bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'_{k}}k\,B_{j}.

Poznámky

V nekonečné verzi přestává lemma platit, pokud poloměry nejsou ohraničené: například to neplatí pro nekonečnou množinu soustředných kuliček s kladnými celými poloměry.
V nejobecnějším případě pro libovolný metrický prostor vyžaduje volba maximálně disjunktní podsbírky kuliček nějakou formu Zornova lemmatu .

Důsledky

V nějaké konečné množině kuliček v-rozměrném euklidovském prostoru s objemem svazku si lze vybrat podmnožinu protínajících se kuliček s celkovým objemem nejméně . $n$ $PROTI$ ${\tfrac {1}{3^{n}}}\cdot V$
- Koeficient není optimální a optimální hodnota není známa. [jeden] ${\displaystyle {\tfrac {1}{3^{n))))$

Variace a zobecnění

Místo kuliček lze vzít jiné regiony s dosti slabými podmínkami. [2]
Besikovičovo lemma je obdobou Vitaliho lemmatu. Je použitelné pro libovolné míry, ale pouze pro jednoduché metrické prostory včetně euklidovského prostoru, zatímco Vitaliho lemma je použitelné na libovolné metrické prostory pro míry s vlastností zdvojení. To druhé znamená, že pro nějakou skutečnou konstantu a libovolnou kouli máme $\mu$ $C$ $B$ $\mu (2B)\leq C\cdot \mu (B)$

Poznámky

↑ Optimální konstanta ve Vitaliho krycím lemmatu
↑ Federer G. Teorie geometrické míry. - 1987. - 760 s.

Literatura

Vitali, Giuseppe (1908), Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino T. 43: 75–92 , < http://www.archive.org/stream/attidellarealeac43real#page /228/mode/2up > .
I. P. Natanson . Teorie funkcí reálné proměnné.