Linearizace zpětné vazby

Linearizace zpětné vazby je způsob, jak přivést systém, abstraktně popsaný ve formě , do formy, kde je nějaká externí řídicí akce. V tomto případě se nelineární systém stává lineárním a je zajištěno externí řízení pro stabilizaci a řízení zbývající lineární části systému. $\Delta x=F(x)+G(x)*u$ $\Delta x=v,$ $proti$

Jako řídicí zákon se tento řídicí zákon obvykle používá a často vede k cíli řízení, pokud je funkce vyčíslitelná. $u=G(x)^{-1}*(vF(x)),$ $G(x)^{{-1}}$

Linearizace zpětné vazby skalárního systému

Uvažujme případ zpětnovazební linearizace systému s jedním vstupem a jedním výstupem. Podobné výsledky lze získat pro systémy s více vstupy a výstupy. Nechť je původní systém reprezentován jako:

{\begin{aligned}{\tečka {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\ konec{aligned}}

kde je vektor stavu systému,

x \in \mathbb{R}^n

u\in \mathbb {R}

vstup,

y\in {\mathbb {R}}

výstup.

Najděte transformaci, která transformuje systém do normální formy: $z=T(x)$

u=a(x)+b(x)v,

nyní je systém prezentován ve formě vstupu-výstupu ve vztahu k novému vstupu a výstupu . Aby byl transformovaný systém ekvivalentní původnímu, musí být transformace difeomorfismus , tedy nejen jednohodnotová, ale i hladká. V praxi může být transformací lokální difeomorfismus, ale pak jsou výsledky linearizace zachovány pouze v této lokální oblasti. $v\in {\mathbb {R}}$ $y$

Derivace lži

Problémem linearizace zpětné vazby je sestrojit transformovaný systém, jehož stavy jsou výstupem a jeho prvními derivacemi. K dosažení tohoto cíle používáme Lieovu derivaci . Uvažujme časovou derivaci (2), kterou lze vypočítat pomocí pravidla derivace složené funkce : $y$ $(n-1)$

{\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} t}}&={\frac {\operatorname {d } h(x)}{\název operátora {d} x}}{\tečka {x}}\\&={\frac {\název operátora {d} h(x)}{\název operátora {d} x}}f (x)+{\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x)u\end{aligned}}.

Nyní můžeme definovat Lieovu derivaci přes jako: $h(x)$ $f(x)$

L_{{f}}h(x)={\frac {\operatorname {d}h(x)}{\operatorname {d}x}}f(x),

a podobně, Lie derivát přes jako: $h(x)$ $g(x)$

L_{{g}}h(x)={\frac {\jméno operátora {d}h(x)}{\jméno operátora {d}x}}g(x).

Zavedením těchto zápisů definujeme jako: ${\tečka {y}}$

{\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u.

Je třeba poznamenat, že použití Lieových derivátů je vhodné, když vezmeme více derivátů buď s ohledem na stejnou vektorovou doménu, nebo s ohledem na jinou. Například:

L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{ \operatorname {d} x}}f(x)

L_{{g}}L_{{f}}h(x)={\frac {\jméno operátora {d}(L_{{f}}h(x))}{\jméno operátora {d}x}}g( X).

Relativní stupeň

V linearizovatelném systému se stavový vektor skládá z výstupní proměnné a jejích prvních derivací. Je nutné pochopit, jak se vstup do systému zadává. K tomu zavádíme pojem relativního stupně. Systém (1), (2) má relativní stupeň v bodě , pokud: $y$ $(n-1)$ $u$ $r\in {\mathbb {W}}$ $x_{0}$

L_{{g}}L_{{f}}^{{k}}h(x)=0\qquad \forall x

v okolí pro všechny :

x_{0}

k\leq r-2

L_{{g}}L_{{f}}^{{r-1}}h(x_{0})\neq 0

Za relativní stupeň soustavy lze tedy podle závěru [1] považovat to, kolikrát musí být výstup časově diferencován do okamžiku, kdy se ve výstupním signálu explicitně objeví ovládání . $y$ $y$ $u$ $y$

Přitom v teorii lineárních stacionárních systémů je relativním stupněm rozdíl mezi stupni polynomů v čitateli a jmenovateli přenosové funkce.

Linearizace zpětné vazby

Dále budeme předpokládat, že relativní stupeň systému je roven . V tomto případě, když rozlišujeme výstupní časy, máme: $n$ $n$

{\begin{aligned}y&=h(x)\\{\tečka {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^ {2}h(x)\\&\vtečky \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&= L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}},

kde znamená tý derivát . $y^{{(n)}}$ $n$ $y$

Vzhledem k tomu, že relativní stupeň systému je , Lieovy derivace tvaru for jsou všechny rovny nule. To znamená, že vstup přímo nepřispívá k žádné z prvních derivací. $n$ $L_{{g}}L_{{f}}^{{i}}h(x)$ $i=1,\tečky,n-2$ $u$ $(n-1)$

Transformace , která přivádí systém do normální formy, může být definována pomocí prvních derivací. Zejména: $T(x)$ $(n-1)$

z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}y\\{\tečka {y}}\\\vdots \\y^{{(n-1)}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\ \L_{{f}}h(x)\\\vdots \\L_{{f}}^{{n-1}}h(x)\end{bmatrix}}

transformuje fázové trajektorie z původního souřadnicového systému na nový . Protože daná transformace je difeomorfismus , hladká trajektorie v původním prostoru bude mít jedinečný ekvivalent v prostoru , který bude také hladký. Tyto trajektorie ve vesmíru popisují nový systém: $X$ $z$ $z$ $z$

{\begin{cases}{\tečka {z}}_{1}&=L_{{f}}h(x)=z_{2}(x)\\{\tečka {z}}_{2} &=L_{{f}}^{{2}}h(x)=z_{3}(x)\\&\vtečky \\{\tečka {z}}_{n}&=L_{{f }}^{{n}}h(x)+L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)u\end{cases}}.

Regulační zákon zpětné vazby je tedy lineární přenosová funkce z do . $u={\frac {1}{L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)))(-L_{{f}}^{{n}}h (x)+v)$ $proti$ $z_{1}=y$

Výsledný linearizovaný systém je:

{\begin{cases}{\tečka {z}}_{1}&=z_{2}\\{\tečka {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{ \dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}

je kaskáda integrátorů a řízení lze získat standardními metodami používanými v teorii řízení pro lineární systémy. Zejména zákon řízení, kde stavový vektor zahrnuje výstup a jeho první derivace, což vede k lineárnímu systému $n$ $proti$ $v=-Kz\qquad,$ $z$ $y$ $(n-1)$

{\dot {z}}=Az,

kde

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_ {2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.

Výběrem vhodných tedy lze libovolně uspořádat póly uzavřeného linearizovaného systému. $k$

Literatura

Andreev Yu. I. Řízení konečnorozměrných lineárních objektů. — M.: Nauka, 1976.
Voronov A. A. Stabilita, ovladatelnost, pozorovatelnost. — M.: Nauka, 1979.
Ivanov V. A., Juščenko A. S. Teorie diskrétních systémů automatického řízení. — M.: Nauka, 1983.
Leung L. Identifikace systémů. Teorie pro uživatele. Za. z angličtiny. / Ed. Tsypkina Ya. Z. - M.: Nauka, FIZMATLIT, 1991.
Roytenberg Ya. N. Automatické ovládání. — M.: Nauka, Fizmatlit, 1992.
Emelyanov S. V., Korovin S. K. Nové typy zpětné vazby. Řízení v nejistotě. — M.: Nauka, 1997.
Isidori A. Nonlinear Control Systems, 3. vydání, Springer Verlag, Londýn, 1995.
HK Khalil HK Nonlinear Systems, 3. vydání, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
Vidyasagar M. Analýza nelineárních systémů, 2. vydání, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
Friedland B. Advanced Control System Design, faksimilové vydání, Prentice Hall, Upper Saddle river, New Jersey, 1996.

Poznámky

↑ Archivovaná kopie . Získáno 24. července 2019. Archivováno z originálu dne 24. července 2019. (neurčitý)

Viz také

Nelineární řízení