Prostor spojený s cestou

Lineárně spojený prostor je topologický prostor , ve kterém mohou být libovolné dva body spojeny spojitou křivkou.

Definice

Uvažujme segment reálné čáry se standardní topologií reálné čáry , která je na ní definována . Nechť je dán také topologický prostor . Pak se tento prostor nazývá path-connected [1] , pokud pro libovolné dva body existuje souvislé zobrazení takové, že $[0,1]\subset \mathbb {R}$ $(X,{\mathcal {T}}).$ $x,y\v X$ $f:[0,1]\to X$ $f(0)=x,\;f(1)=y.$
Nechť je dána podmnožina . Potom je přirozeně definována topologie na ní indukovaná . Pokud je prostor připojen k cestě, pak se podmnožina také nazývá připojená k cestě v [2] . $M\podmnožina X$ ${\mathcal {T}}_{M}$ $\mathcal{T}$ $\left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)$ $M$ $X$

Související definice

Každá podmnožina prostoru spojená s cestou je obsažena v nějaké maximální podmnožině spojené s cestou. Takové maximální spojené podmnožiny se nazývají lineárně spojené složky prostoru [2] . $X$ $X$
- Prostor, ve kterém se každá komponenta spojená s cestou skládá z jediného bodu, se nazývá zcela odpojený od cesty (analogicky jako zcela odpojený prostor ).
Pokud existuje základ prostorové topologie sestávající z otevřených množin spojených s cestami , pak topologie prostoru a samotný prostor (v této topologii) se nazývají lokálně spojené s cestami [3] . $X$ $X$ $X$

Příklady

Čára, kruh, konvexní podmnožina euklidovského prostoru jsou příklady prostorů spojených s cestou [4] .
Uzavření grafu funkce at je příkladem spojeného prostoru, který není spojen cestou. Tento prostor má dvě složky lineární konektivity: graf funkce pro x > 0 a segment na ose y [5] . $\sin\tfrac1x$ $x\ge 0$ $[-1,1]$
Pseudooblouk je příkladem spojeného, ale zcela lineárně rozpojeného prostoru.

Vlastnosti

Každý prostor spojený s cestou je propojený . Opak není pravda [1] .
Konečný topologický prostor je cestně propojený právě tehdy, když je propojen.
Souvislý obraz prostoru spojeného s cestou je spojen s cestou [5] .
Pokud je prostor propojen s cestou a , pak homotopie seskupí a jsou izomorfní a tento izomorfismus je jednoznačně definován až do vnitřního automorfismu [6] . $X$ $x,\;y\v X$ $\pi _{1}(X,\;x)$ $\pi _{1}(X,\;y)$ $\pi _{1}(X,\;x)$

Lineární konektivita na reálné lince

Předpokládáme, že , a je standardní topologie reálné linky. Potom [5] $X=\mathbb {R}$ $\mathcal{T}$

Podmnožina je připojena k cestě tehdy a jen tehdy $M\subset \mathbb {R}$ $\forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr )},$

to znamená, že do něj vstupují libovolné dva body spolu se segmentem, který je spojuje.

Jakákoli podmnožina reálné čáry spojená s cestou je konečný nebo nekonečný otevřený, polootevřený nebo uzavřený interval: $(a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\; b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ),(-\infty ,+\infty ).$
Podmnožina číselné osy je propojena cestou právě tehdy, když je připojena.

Generalizace

Vícerozměrné zobecnění lineárního spojení je -connection (spojení v dimenzi ). Prostor je řekl, aby byl propojený v rozměru jestliže nějaké dvě mapy - dimenzionální koule do , kde , jsou homotopic . Konkrétně -konektivita je totéž jako lineární konektivita a -konektivita je totéž jako prostá konektivita [7] . $k$ $k$ $X$ $k$ $r$ ${\displaystyle S^{r))$ $X$ $r\leqslant k$ $0$ $jeden$

Poznámky

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , s. 24.
↑ 1 2 Viro et al., 2012 , str. 86.
↑ Viro et al., 2012 , str. 229.
↑ Viro et al., 2012 , str. 85-86.
↑ 1 2 3 Viro et al., 2012 , str. 87.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , str. 51.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , str. 49.

Literatura

Fomenko, A. T. , Fuchs, D. B. Kurz topologie homotopie. —M.:Nauka, 1989. — 528 s. —ISBN 5-02-013929-7. (Ruština)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O.A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V.M. Elementary topology. - 2. vyd., opraveno .. -M .: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Ruština)