Sylvestrovská matrice

Sylvesterova matice je matice, která vám umožňuje vypočítat výsledek dvou polynomů . Představil anglický matematik James Sylvester .

Definice

Nechť jsou dány polynomy

A(x)=\sum _{{i=0}}^{{n}}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n} x^{n}

B(x)=\sum _{{i=0}}^{{m}}{b_{i}x^{i}}=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m} x^{m}

Potom bude Sylvesterova matice pro tyto polynomy čtvercová matice tvaru $(n+m)\krát (n+m)$

S_{A,B}={\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &\cdots &a_{0}&0&\cdots &0\\0&a_{ n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\ cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1 }&\cdots &\cdots &b_{0}&0&\cdots &\cdots &\\cdots &0\\0&b_{m}&\cdots &\cdots &b_{1}&b_{0}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&b_{m}&\cdots &b_{1}&b_{0} \end{pmatrix }}

Počet řádků matice obsahujících koeficienty polynomu je , a počet polynomu je . Výslednice polynomů se nalézá jako determinant této matice : $sekera)$ $m$ $b(x)$ $n$

R(A,B)=\det S_{{A,B}}

Příklad

Pro polynomy

A(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

B(x)=b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}

Matice Sylvester bude vypadat takto:

S_{{A,B))={\begin{pmatrix}a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0&0&a_{2}&a_ {1}&a_{0}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}&0\\0&b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}

Viz také

Bezu Matrix

Odkazy

Weisstein, Eric W. Sylvester Matrix (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Aplikace na teorii eliminace