Kravčukovy matrice

Kravchukovy matice jsou matice, jejichž prvky jsou hodnoty Kravchukových polynomů v nezáporných celých bodech. [1] [2]

K_{ij}^{(n)}=\Sigma _{k}(-1)^{k}{\binom {j}{k)){\binom {nj}{ik))

Příklady prvních několika matic:

$K^{(0)}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\qquad K^{(1)}=\left[{\begin{array}{rr}1&1\\1& -1\end{array}}\right]\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{array}} \right]\qquad K^{(3)}=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1&-3\\3&-1&-1&3\\1&-1&1&-1\end{ pole}}\right]$

$K^{(4)}=\left[{\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&1\\4&2&0&-2&-4\\6&0&-2&0&6\\4&-2&0&2&-4\\1&-1&1&-1&1 \end{array}}\right]\qquad K^{(5)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1&1\\5&3&1&-1&-3&-5\\10&2&-2&-2&2&10\\ 10&-2&-2&2&2&-10\\5&-3&1&1&-3&5\\1&-1&1&-1&1&-1\end{array}}\right]$

$K^{(6)}=\left[{\begin{array}{rrrrrrr}1&1&1&1&1&1&1\\6&4&2&0&-2&-4&-6\\15&5&-1&-3&-1&5&15\\20&0&&-4&0&4\&0 \15&-5&-1&3&-1&-5&15\\6&-4&2&0&-2&4&-6\\1&-1&1&-1&1&-1&1\end{array}}\right].$

Obecně lze říci, že pro libovolné kladné n lze prvky matice vypočítat pomocí funkce ${\displaystyle K_{ij}^{(n)))$

${\displaystyle (1+v)^{nj}\,(1-v)^{j}=\sum _{i}v^{i}K_{ij}^{(n)))$

kde celočíselné indexy i a j se mění od 0 do n.

Poznámky

↑ N. Bose, „Digital Filters: Theory and Applications“ [North-Holland Elsevier, NY, 1985 ]
↑ P. Feinsilver, J. Kocik: Krawtchoukovy polynomy a Krawtchoukovy matice, Nedávné pokroky v aplikované pravděpodobnosti , Springer-Verlag, říjen, 2004 Archivováno 14. dubna 2012 na Wayback Machine

Odkazy

Kravčukovy polynomy