Medián (matematika)

Medián dvou zlomků a s kladnými jmenovateli je zlomek, jehož čitatel se rovná součtu čitatelů a jmenovatel je součtem jmenovatelů dvou daných zlomků: ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d))$

{\frac {a+c}{b+d)).

Vlastnosti

Medián dvou zlomků je mezi nimi, tzn

pokud , tak .

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}

Důkaz Tato vlastnost je důsledkem vztahů

{\frac {a+c}{b+d}}-{\frac {a}{b}}={{bc-ad} \over {b(b+d)))={d \ přes {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0

{\frac {c}{d}}-{\frac {a+c}{b+d}}={{bc-ad} \over {d(b+d)))={b \ přes {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0.

Pokud zapíšete 2 zlomky a poté mezi každými 2 sousedními zlomky několikrát jejich medián, dostanete Fareyovu řadu .

Historie

Koncept mediánu dvou zlomků zavedl A.Ya Khinchin [1] v teorii spojitých zlomků za účelem lepšího pochopení vzájemného uspořádání a zákona postupného tvoření mezilehlých zlomků. V teorii spojitých zlomků se však pro studium mezilehlých zlomků termín „mediant“ neujal [2] . V jiných matematických vědách, např. v matematickém rozboru [3] a v teorii obyčejných diferenciálních rovnic [4] , byly vlastnosti mediánu n poměrů reálných čísel používány k prokázání určitých tvrzení, ačkoli definice pojmu mediánu nebyl uveden. Nepřímo se nejrozšířenější použití mediánu n poměrů reálných čísel nachází v aplikované matematice, zejména v matematické statistice. [5] [6] [7] Ale definice mediánu v těchto pracích také nebyla uvedena. Maurice Kline [8] v podstatě „znovuobjevil“ mediant tím, že navrhl „fotbalovou aritmetiku“ sčítání zlomků. Tento dodatek použil M. Kline ke stanovení průměrného výkonu útočníka fotbalisty ve dvou zápasech. Zvažoval také případy určování efektivity obchodu a průměrné rychlosti auta na základě rychlostí na dvou úsecích cesty.

V současnosti se medián používá v demografii [9] a biologii [10] .

Příklady použití

Literatura a poznámky

↑ Khinchin A.Ya. Řetězové střely. – M.: Fizmatlit, 1961. 112 s.
↑ Leng S. Úvod do teorie diofantických aproximací. – M.: Mir, 1970. – 104 s.
↑ Fikhtengolts G.M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. T.1. - M.-L.: Gostekhlit, 1947. - 680 s.
↑ Štěpánov V.V. Průběh diferenciálních rovnic. - M.: Fizmatlit, 1959. - 468 s.
↑ Salton G.A. Automatické zpracování, ukládání a vyhledávání informací. – M.: Sov. rozhlas, 1973. - 560 s.
↑ Schwartz G. Selektivní metoda. Směrnice pro aplikaci statistických metod odhadu. – M.: Statistika, 1978. – 213 s.
↑ Crane M., Lemoine O. Úvod do regenerativní metody modelové analýzy. – M.: Nauka, 1982. – 104 s.
↑ Kline M. Matematika. Ztráta jistoty. – M.: Mir, 1984. – 434 s.
↑ Semkin B.I., Soboleva T.A. Hodnocení rychlosti změny celkového počtu obyvatel měst Přímořského kraje // Geografie a přírodní zdroje. č. 4. 2005. S. 118-123.
↑ Semkin B.I., Gorshkov M.V., Varchenko L.I. O změnách obsahu vody v jednoletých výhonech jehličnatých dřevin v mírném klimatickém pásmu // Sibiřský ekol. časopis 2008. č. 4. T. 15. S. 537–544.