Krylov-Bogolyubovova metoda

Krylov-Bogolyubovova metoda je metoda pro získání přibližných analytických řešení nelineárních diferenciálních rovnic s malou nelinearitou.

Popis

Uvažujme dynamický systém s malou nelinearitou [1] :

{\dot {x}}=Gx+\mu F(x,\mu ,t)

(jeden)

Zde je stavový vektor systému se složkami, je konstantní čtvercová matice, je malý parametr, je nelineární vektorová funkce stavového vektoru , malý parametr a čas . $X$ $2n$ $G$ $\mu$ $F$ $X$ $\mu$ $t$

Při , se systém stává lineárním. Jedno z jeho periodických řešení lze zapsat jako: $\mu=0$

{\displaystyle x_{0}=AVe^{i(\omega t+\theta )))

(2)

Zde je libovolná konstanta, je vlastním vektorem matice , je jednou z nenásobných vlastních frekvencí systému a je libovolnou konstantou. $A$ $PROTI$ $G$ $\omega$ $\theta$

Řešení soustavy (1) hledáme ve formě řady v mocninách malého parametru : $\mu \neq 0$ $\mu$

x=x_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\mu ^{k}u_{k}(A,\psi ,\mu t)

(3)

Zde jsou neznámé vektorové funkce a . a - pomalu se měnící amplituda a fáze, splňující rovnice: $\psi =\omega t+\theta ,u1,u2,...$ $A,\psi$ $\mu t$ $A$ $\theta$

{\frac {dA}{dt}}=\mu f_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}f_{2}(A,\theta ,\mu t )+...

(čtyři)

{\frac {d\theta }{dt}}=\mu h_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}h_{2}(A,\theta ,\ mu t)+...

(5)

Vypočítejte derivaci jako řadu , na základě výrazů (3, 4, 5): ${\tečka {x}}$ $\mu$

{\dot {x}}=i\omega AVe^{i\psi }+\mu \left[f_{1}Ve^{i\psi }+iAh_{1}Ve^{i\psi } +\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}\right]+\mu ^{2}\left[f_{2}Ve^{i\psi }+iAh_{2} Ve^{i\psi }+{\frac {\částečné u_{1}}{\částečné (\mu t)))+f_{1}{\frac {\částečné u_{1}}{\částečné A} }+h_{1}{\frac {\částečné u_{1}}{\částečné \psi }}+\omega {\frac {\částečné u_{2}}{\částečné \psi }}\vpravo]+. ..

(6)

Také reprezentujeme nelineární část rovnice (1) jako řadu v malém parametru:

\mu F(x,\mu ,t)=\mu F_{1}+\mu ^{2}F_{2}+...

(7)

kde $F_{1}=F(x_{0},0,t),F_{2}={\frac {\částečné F(x_{0},0,t)}{\částečné x}}u_ {1}+{\frac {\částečné F(x_{0},0,t)}{\částečné \mu )),...$

Rovnicí na levé a pravé straně členů rovnice (1) se stejnými mocninami malého parametru získáme z rovnice (3) soustavu rovnic pro určení neznámých funkcí: $\mu$ ${\displaystyle u_{j))$

\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+Gu_{1}=-f_{1}Ve^{i\psi }-iAh_{1}Ve^{i \psi }+F_{1}

(osm)

\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}+Gu_{2}=-f_{2}Ve^{i\psi }-iAh_{2}Ve^{i \psi }-{\frac {\částečné u_{1}}{\částečné (\mu t)))-f_{1}{\frac {\částečné u_{1}}{\částečné A}}-h_{ 1}{\frac {\částečné u_{1}}{\částečné \psi }}+F_{2}

(9)

...

Rozšiřme vektorové funkce na Fourierovy řady s pomalu se měnícími koeficienty: $u_{j},F_{j}$

u_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }U_{j}^{(m)}(A,\theta ,\ mu t)e^{im\psi }

(deset)

F_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }F_{j}^{(m)}(A,\theta ,\ mu t)e^{im\psi }

(jedenáct)

Dále dosadíme (10), (11) do (8), (9) a vyrovnáním koeficientů pro každou harmonickou v obou částech rovnice získáme soustavu nehomogenních rovnic vzhledem k . ${\displaystyle U_{j}^{(m)))$

Pro získání rovnic první aproximace z (8), (10), (11) sestavíme rovnici pro určení vektorové funkce ${\displaystyle U_{1}^{(m)))$

(G+im\omega E)U_{1}^{(m)}=-(f_{1}+iAh_{1})\delta _{m1}V+F_{1}^{(m) )}

(12)

Podmínka kompatibility pro systém (12) na má tvar: $m=1$

: (13)

-f_{1}CV-iAh_{1}CV+CF_{1}^{(1)}=0

Oddělením skutečné a imaginární části v (13) zjistíme:

f_{1}(A,\theta ,\mu t)=Re\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n}c_{kk))}\součet _ {k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]

(čtrnáct)

h_{1}(A,\theta ,\mu t)={\frac {1}{A}}Im\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n }c_{kk}}}\součet _{k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]

(patnáct)

Ve druhé aproximaci nejprve zjistíme ze soustavy rovnic (12) vektory . Vzhledem k tomu, že v , je vektor určen až do libovolné konstanty, může být reprezentován jako: ${\displaystyle U_{1}^{(m)))$ $m=1$ ${\displaystyle U_{1}^{(1)))$

{\displaystyle U_{1}^{(1)}=AV^{(1)))

(16)

Potom do soustavy rovnic (9) dosadíme řady (10), (11). Vezmeme-li v úvahu (16), získáme:

(G+im\omega E)U_{2}^{(m)}=-\left[(f_{2}+iAh_{2})V^{(1)}+(f_{1} +iAh_{1})V^{(1)}+A\left({\frac {\částečné V^{(1))){\částečné (\mu t)))+f_{1}{\frac {\částečné V^{(1))){\částečné A}}+h_{1}{\frac {\částečné V^{(1))){\částečné \theta }}\vpravo)\vpravo]\ delta _{m1}-\left[{\frac {\částečné U_{1}^{(m))){\částečné (\mu t)))+f_{1}{\frac {\částečné U_{1 }^{(m)}}{\částečné A}}+h_{1}{\frac {\částečné U_{1}^{(m))){\částečné \theta }}+imh_{1}U_{ 1}^{(m)}\right](1-\delta _{m1})+F_{}^{}

(17)

Z podmínky kompatibility pro soustavu rovnic (17) v , můžeme určit a . Podmínky třetí a vyšší aproximace jsou nalezeny podobně. Výsledkem je, že získáme výraz pro vektor stavu systému x $m=1$ ${\displaystyle f_{2))$ ${\displaystyle h_{2))$

x=A\left[V+\mu V^{(1)}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}V^{(2)}(A,\theta ,\ mu t)+...\right]e^{i\psi }+...

(osmnáct)

Zde amplituda a fáze splňují rovnice (4), (5). $A$ $\theta$

Viz také

Metoda malých parametrů

Poznámky

↑ Guljajev, 1989 , s. 102.

Literatura

Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E .,. Teorie vibrací. — M .: Nauka, 1981.
Bogolyubov N. N. , Mitropolsky Yu. A .,. Asymptotické metody v teorii nelineárních oscilací. — M .: Nauka, 1963.
Gulyaev V.I. , Bazhenov V.A. , Popov S.L .,. Aplikované problémy teorie nelineárních oscilací mechanických systémů. - M . : Vyšší škola, 1989. - 383 s. - ISBN 5-06-000091-5 .