Kummerova metoda

Kummerova metoda - v teorii číselných řad metodu, která umožňuje nahradit danou řadu jinou, která rychleji konverguje, navrhl E. Kummer .

Předpokládejme, že existuje konvergentní číselná řada a je třeba najít její součet s danou přesností. Pro zvýšení rychlosti konvergence této řady se používá Kummerova metoda, která spočívá v následujícím. Řada se známým součtem je vybrána tak, že rozdíl $a_k$ ${\displaystyle b_{k))$

c_{k}=a_{k}-b_{k}=o\,(a_{k}),\;k\to \infty

V tomto případě může být hodnota reprezentována jako součet , kde řada konverguje rychleji než původní řada a součet řady je znám. To znamená, že pro získání součtu řady s danou přesností ve druhém případě je nutné vzít menší počet členů řady . ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k))$ ${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }c_{k))$ ${\displaystyle c_{k))$ ${\displaystyle b_{k))$ ${\displaystyle c_{k))$

Například ke zvýšení rychlosti konvergence řady

{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2))))

lze použít v blízkosti

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k(k+1)))=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\ tfrac {1}{k}}-{\tfrac {1}{k+1}}\right)=1

jehož součet je znám, a zapište

\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\ tfrac {1}{k^{2}(k+1)}}

Kummerovu transformaci nelze použít na všechny členy původní série, ale pouze na členy série, počínaje od určitého místa. V tomto případě zůstává několik členů původní série nezměněno.

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. svazek 2, str. 415.