Chaplyginova metoda

Chaplyginova metoda (známá také jako metoda oboustranných aproximací [1] ) je metoda pro přibližné řešení diferenciálních rovnic s daným stupněm přesnosti, kterou navrhl S. A. Chaplygin a je založena na Chaplyginově teorému . Metoda je určena pro řešení Cauchyho úlohy pro systém ODR prvního řádu (nebo pro jednu ODR řádu vyššího než prvního) a spočívá v sestrojení dvou rodin bariérových řešení, které se důsledně blíží přesnému řešení systému.

Popis metody

Hlavní myšlenka

Nechť je dána diferenciální rovnice, která je řešena s ohledem na nejvyšší derivaci:

$y^{(n)}-f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})=0$ .

Pak je potřeba najít dvě funkce a , rovné požadovanému integrálu v bodě a na nějakém segmentu sousedícím s tímto bodem splňující nerovnost . Můžeme říci, že funkce a se shodují se stranami AB a AC křivočarého trojúhelníku ABC (úsečka bodu A - ), uvnitř kterého funkce prochází , a vzdálenost mezi B a C by měla být relativně malá. $z=z(x)$ $u=u(x)$ $x_{0}$ $u<y<z$ $z$ $u$ $x_{0}$ $y(x)$

Algoritmus (pro rovnici prvního řádu)

Je vyžadováno řešení rovnice a funkce splňuje Lipschitzovu podmínku . $y'-f(x,y)=0$ $f(x,y)$

Najděte dvě funkce a takové, že v bodě jsou řešením rovnice a na nějakém půlintervalu platí: ; . Tyto funkce budou považovány za první aproximaci řešení. $z_{0}$ $u_{0}$ $x_{0}$ $(x_{0},b]$
$u_{0}'-f(x,u_{0})<0$
$z_{0}'-f(x,z_{0})>0$
Dejte nám již vědět nějaké přibližné řešení a , pak další aproximací budou funkce: ; ; ; . Zde L je Lipschitzova konstanta pro funkci . Pokud je navíc splněna podmínka zachování znaménka druhé parciální derivace funkce vzhledem k v oblasti , pak lze další aproximaci najít jinou metodou: sestrojíme dvě plochy a , z nichž jedna je tvořena přímkami procházejícími průsečíky s pevnými a druhými tečnami k němu, nakreslenými v minimálním úhlu k rovině OXY rovnoběžné s osou OY a . Potom funkce a lze získat řešením dvou lineárních diferenciálních rovnic: ; $z_{i}$ $u_{i}$
$h(x)=u_{i}'(x)-f(x,u_{i}(x))$
$u_{i+1}(x)=u_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(xt)}h(t)dt}$
$g(x)=z_{i}'(x)-f(x,z_{i}(x))$
$z_{i+1}(x)=z_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(xt)}g(t)dt}$
$f(x,y)$

$f(x,y)$ $y$ $(x,y)\in ([x_{0},b],[u_{i}(x),z_{i}(x)])$ $\Phi (x,y)$ $\phi (x,y)$ $f(x,y)$ $u_{i}(x)$ $z_{i}(x)$ $X$ $\Phi (x,y)\geqslant f(x,y)\geqslant \phi (x,y)$ $z_{i+1}$ $u_{i+1}$
$z_{i+1}'=\Phi (x,z_{i+1})$ $u_{i+1}'=\phi (x,u_{i+1})$

Konvergence [2]

Chaplyginova metoda je zobecněním Newtonovy metody pro řešení ODR, tedy počínaje nějakým n , . ${\displaystyle z_{n}-u_{n}\leqslant C/{2^{2^{n))))$

Poznámky

↑ § O2. Diferenciální a integrální nerovnosti . Datum přístupu: 8. června 2014. Archivováno z originálu 19. července 2014. (Ruština)
↑ Berezin, Zhidkov - s. 268-269.

Literatura

Chaplygin S. A. Nová metoda přibližné integrace diferenciálních rovnic / Ed. V. K. Goltsman. - L . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1950.
Berezin I. S., Zhidkov N. P. Výpočtové metody. - M. : Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1959. - T. 2. - S. 260-277.