Tichonovova regularizační metoda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Tikhonovova regularizační metoda je algoritmus, který umožňuje najít přibližné řešení špatně položených operátorových problémů formuláře . Byl vyvinut A.N. Tichonovem v roce 1965 [1] . Hlavní myšlenkou je najít přibližné řešení rovnice ve tvaru , kde je regularizační operátor. Musí zajistit, aby při přiblížení k přesné hodnotě , přibližné řešení směřovalo k požadovanému přesnému řešení rovnice . [2] $sekera=u$ $Ax=u$ $x_{\delta }=R(u_{\delta },\alpha )$ $R(u_{\delta },\alpha )$ $u_{\delta }$ $u_{T}$ $\delta \to 0$ ${\displaystyle x_{\delta ))$ $x_{T}$ $Ax_{T}=u_{T}$

Regulační operátor

Operátor závislý na parametru se nazývá regularizační operátor pro rovnici , pokud má následující vlastnosti: $R(u,\alpha)$ $\alpha$ $Ax=u$

Definováno pro kohokoli a kohokoli . $\alpha >0$ $u\v U$
If , then there existuje takové , že pro any tam je takové , že if , then , kde , , je metrika v prostoru (tj . vzdálenost mezi vektory a ), a je metrika v prostoru . $Ax_{T}=u_{T}$ $\alpha (\delta)$ $\varepsilon >0$ $\delta (\varepsilon )$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })\leqslant \delta (\varepsilon )$ $\rho _{F}(x_{T},x_{\alpha })\leqslant \varepsilon$ $x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )$ $\alpha =\alpha (\delta)$ $\rho _{U}$ $U$ $\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })$ $u_{T}$ $u_{\delta }$ $\rho _{F}$ $X$

Metoda pro konstrukci regularizačních operátorů

Pro širokou třídu rovnic A. N. Tichonov ukázal, že řešení problému minimalizace funkcionálu lze považovat za výsledek aplikace regularizačního operátoru, který závisí na parametru . Funkcionál se nazývá stabilizátor úlohy . $sekera=u$ $x_{{\alpha ))$ $M^{\alpha }\left[u_{\delta },x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta })+\alpha \Omega \left[ x\vpravo]$ $\alpha$ $x_{{\alpha }}=R_{{1}}(u_{{\delta }},\alpha)$ $\Omega \left[x\right]$ $sekera=u$

Příklad aplikace

Nalezněme normální (původně nejbližší) řešení soustavy lineárních rovnic s přesností odpovídající přesnosti nastavení prvků matice a sloupce v případě, že hodnoty prvků matice a sloupce volných členů jsou uvedeny pouze přibližně. $X$ $AX=B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Prohlášení o problému

Uvažujme soustavu lineárních rovnic v maticovém tvaru: . Nazvěme kulové normy množství . Označme jako známé přibližné hodnoty prvků matice a sloupce . Matice a sloupec se budou nazývat aproximací matice a sloupce , pokud jsou splněny nerovnosti . Pojďme si představit funkční . Tichonovův teorém redukuje otázku hledání přibližného normálního řešení soustavy rovnic na nalezení prvku, na kterém tento funkcionál dosáhne své minimální hodnoty. $AX=B$ $\|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum _{ j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\součet _{i=1}^{m}\součet _{j=1}^ {n}a_{ij}^{2}}}$ ${\tilde {A)],{\tilde {B))$ $A$ $B$ ${\tilde {A}}$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $A$ $B$ $\|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta$ $F(X,{\tilde {A)),{\tilde {B)))=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\ alfa \|X\|^{2}$ $AX=B$ ${\displaystyle X^{\alpha ))$

Tichonovova věta

Nechť matice a sloupec splňují podmínky, které zajišťují kompatibilitu systému , je normálním řešením tohoto systému, je -aproximací matice , je -aproximací sloupce a jsou jakékoli rostoucí funkce inklinující k nule v a takové, že . Pak pro libovolnou existuje kladné číslo takové, že pro libovolnou a pro libovolnou splňující podmínku splňuje prvek poskytující minimum funkcionálu nerovnost [3] [4] . $A$ $B$ $AX=B$ $X^{{0}}$ ${\tilde {A}}$ $\delta$ $A$ ${\tilde {B}}$ $\delta$ $B$ $\varepsilon \left(\delta \right)$ $\alpha \left(\delta \right)$ $\delta$ $\delta \rightarrow +0$ $\delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)$ $\varepsilon >0$ $\delta _{{0}}$ $\delta<\delta_{{0}}$ $\alpha$ ${\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)))\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)$ $X^{{\alpha ))$ ${\displaystyle F\left(X,{\tilde {A)),{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|} ^{2}+\alpha {\|X\|}^{2))$ $\|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant \varepsilon$

Poznámky

↑ Tichonov A. N. O špatně položených problémech lineární algebry a stabilní metodě jejich řešení // DAN SSSR, 1965, v. 163, č. 3, s. 591-594.
↑ Arsenin, 1974 , str. 264.
↑ Lineární algebra, 2004 , str. 100.
↑ Metody řešení špatně položených problémů, 1979 , s. 119.

Literatura

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Lineární algebra. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 s. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Tikhonov A. N. , Arsenin V. Ya. Metody řešení špatně položených problémů. - M. : Nauka, 1979. - 283 s.
Arsenin V. Ya. Metody matematické fyziky a speciální funkce. — M .: Nauka, 1974. — 430 s.