Relaxační metoda

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Relaxační metoda (z lat. relaxatio zde „redukce“) je iterační metoda pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic .

Popis metody

Systém lineárních rovnic

$\left\{ \begin{matrix} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1\\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2\\ & \ldots & \\ a_{n1}x_1 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n\\ \end{matrix} \vpravo.$

zredukováno do tvaru [1]

$\left\{{\begin{matrix}P_{11}x_{1}+P_{12}x_{2}+\ldots +P_{1n}x_{n}+c_{1}&=&0 \\&\ldots &\\P_{n1}x_{1}+P_{n2}x_{2}+\ldots +P_{nn}x_{n}+c_{n}&=&0\\\end{ matice}}\vpravo.$

kde ,. _ To znamená, že všechny = -1. $P_{ij}=-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}$ $c_i = \frac{b_i}{a_{ii}}$ $P_{ii}$

Zbytky se nacházejí : $R_{j}$

$\left\{{\begin{matrix}R_{1}^{(0)}&=&c_{1}-x_{1}^{(0)}+\sum \limits _{j=2 }^{n}P_{1j}x_{j}^{(0)}\\R_{2}^{(0)}&=&c_{2}-x_{2}^{(0)}+\ součet \limits _{j=1,j\neq 2}^{n}P_{2j}x_{j}^{(0)}\\&\ldots &\\R_{n}^{(0)} &=&c_{n}-x_{n}^{(0)}+\součet \limits _{j=1}^{n-1}P_{nj}x_{j}^{(0)}\\ \end{matrix}}\right.$

Je zvolena počáteční aproximace . V každém kroku je nutné nastavit maximální odchylku na nulu: . $X^{(0)} = 0$ $R_{s}^{(k)}=\delta x_{s}^{(k)}\Rightarrow R_{s}^{(k+1)}=0,R_{i}^{( k+1)}=R_{i}^{(k)}+P_{is}\delta x_{s}^{(k)}$

Stav zastavení: . $|R_j^{(k)}| < \varepsilon, \forall j = \overline{1, n}$

Odpověď je dána vzorcem: . $x_i \approx x_i^{(0)} + \sum_j \delta x_i^{(j)}$

Poznámky

↑ Salvadori M.J. Numerické metody v inženýrství. - M. , Vuzovskaya kniga, 2007. - ISBN 5-9502-0186-8 - str. 36-42

Metody řešení SLAE
Přímé metody	Maticová metoda Gaussova metoda Gauss-Jordanova metoda Cramerova metoda LU rozklad Choleský rozklad Metoda zametání
Iterační metody	Jacobiho metoda Gauss-Seidelova metoda Iterační metoda Relaxační metoda Metoda konjugovaného gradientu Metoda bikonjugovaného gradientu Metoda stabilizovaného bikonjugátového gradientu
Všeobecné	inverzní matice Projekční metody pro řešení SLAE Předběžná úprava