Metoda superpozice

Metoda superpozice je metoda pro řešení okrajového problému pro lineární obyčejné diferenciální rovnice tím, že převede to na Cauchy problém .

Popis metody

Hlavní myšlenkou metody superpozice je transformace okrajového problému pro lineární obyčejné diferenciální rovnice na dva nebo více Cauchyho problémů, které lze vyřešit jednou z metod řešení Cauchyho problémů , jako je Runge-Kutta metoda . Tato transformace se provádí reprezentací požadovaného řešení jako lineárního součtu několika funkcí , včetně tolika neznámých konstant , kolik není dost počátečních podmínek pro redukci na Cauchyho problém. Poté je toto zobrazení dosazeno do původní diferenciální rovnice a výsledkem je systém diferenciálních rovnic. Při dosazení zobrazení do podmínek pro hranice umožňuje vypočítat počáteční podmínky Cauchyho úlohy a neznámé konstanty . $x(t)$ $x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)+...+C_{N}x_{N}(t)$ $x_{1}(t),x_{2}(t),...x_{N}(t)$ ${\displaystyle C_{1},...,C_{N))$ $x(t)$ $N+1$ ${\displaystyle C_{1},...,C_{N))$

Příklad

Uvažujme okrajový problém definovaný lineární diferenciální rovnicí druhého řádu:

$f(t,x,{\frac {dx}{dt)),{\frac {d^{2}}{dt^{2}}})=r(t)$ (jeden)

a okrajové podmínky

${\displaystyle x(0)=x_{0},x(1)=x_{1))$ (2).

Abychom okrajovou úlohu zredukovali na Cauchyho úlohu, chybí jedna podmínka, takže řešení představujeme ve tvaru

$x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)$ (3)

s jednou neznámou konstantou . $C_{1}$

Dosazením tohoto rozšíření do (1) dostaneme:

$[f(t,x_{1},{\frac {dx_{1}}{dt)),{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}) -r(t)]+C_{1}[f(t,x_{2},{\frac {dx_{2}}{dt)),{\frac {d^{2}x_{2}}{ dt^{2}}})]=0$

V této rovnici se oba členy musí rovnat nule.

$f(t,x_{1},{\frac {dx_{1}}{dt)),{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}})= r(t)$ (čtyři)

$f(t,x_{2},{\frac {dx_{2}}{dt)),{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}})= 0$ (5)

První okrajová podmínka v (2) má tvar:

$x_{1}(0)+C_{1}x_{2}(0)=x_{0}$ ,

z toho plyne:

$x_{1}(0)=x_{0},x_{2}(0)=0$ (6 a, b)

Počáteční podmínky pro derivaci najdeme derivováním (3) v bodě 0:

${\frac {dx(0)}{dt}}={\frac {dx_{1}(0)}{dt}}+C_{1}{\frac {dx_{2}(0)} {dt}}$ (7)

Okrajové podmínky pro derivaci lze nastavit:

${\frac {dx_{1}(0)}{dt))=0,{\frac {dx_{2}(0)}{dt))=1$ (8 a, b)

Z (6) dostáváme:

${\frac {dx(0)}{dt}}=C_{1}$ (9)

Okrajová podmínka v druhém bodě má tvar:

${\displaystyle x_{1}(1)+C_{1}x_{2}(1)=x_{1))$

Z této rovnice dostaneme:

$C_{1}={\frac {[x_{1}-x_{1}(1)]}{x_{2}(1)))$ . (deset)

Takže jsme obdrželi všechna počáteční data pro Cauchyho problém. Okrajový problém (1), (2) se řeší následovně:

Rovnici (4) integrujeme s počátečními podmínkami (6 a), (8 a) od 0 do 1. Dostaneme . $x_{1}(1)$
Rovnici (5) integrujeme s počátečními podmínkami (6 b), (8 b) od 0 do 1. Dostaneme . $x_{2}(1)$
Pomocí vzorce (10) vypočítáme konstantu , která je na základě (9) chybějící počáteční hodnotou. $C_{1}$
Pomocí vzorce (3) vypočítáme řešení původní úlohy.

Literatura

Ts. Na Výpočtové metody pro řešení aplikovaných okrajových úloh. - M.: Mir, 1982.