Moment síly

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. ledna 2022; kontroly vyžadují 6 úprav .

Moment síly
$\vec{M}=\left[\vec{r}\times\vec{F}\vpravo]$
Dimenze	L 2 MT -2
Jednotky
SI	Nm
GHS	Dina - centimetr
Poznámky
Pseudovector

Moment síly ( moment síly vzhledem k bodu ) je vektorová fyzikální veličina , která charakterizuje působení síly na mechanický předmět, který může způsobit jeho rotační pohyb. Je definován jako křížový součin vektoru poloměru bodu působení síly a vektoru síly . Momenty sil vznikajících za různých podmínek v technologii mohou mít názvy: kroutící moment, rotační moment, kroutící moment, kroutící moment, kroutící moment . ${\vec {r))$ $\vec{F}$

Moment síly je označen symbolem nebo vzácněji (tau). ${\vec {M}}$ ${\vec {\tau ))$

Jednotka SI : N⋅m . Na volbě počátku poloměrových vektorů O závisí velikost momentu síly.

Pojem moment síly se používá zejména v oblasti statiky a úloh souvisejících s rotací součástí ( páky apod.) v technické mechanice . Důležitý je zejména případ rotace tuhého tělesa kolem pevné osy - pak se na této ose volí O a místo samotného momentu se uvažuje jeho průmět na osu ; taková projekce se nazývá moment síly kolem osy . ${\displaystyle M_{\paralelní ))$

Přítomnost momentu síly znamená změnu momentu hybnosti tělesa vzhledem ke stejnému začátku O s časem : vztah se uskuteční . Ve statice je rovnost součtu momentů všech sil působících na těleso k nule jednou z podmínek (spolu s rovností součtu sil k nule) pro realizaci klidového stavu. $\vec{L}$ $t$ $d{\vec {L}}/dt={\vec {M}}$

Definice, obecné informace

Ve fyzice moment síly hraje roli rotačního účinku na tělo.

V nejjednodušším případě, pokud síla působí na páku kolmo k ní a ose otáčení, je moment síly definován jako součin velikosti vzdálenosti od místa působení síly k ose rotace. rotace páky, nazývaná „rameno síly“: $\vec{F}$ $F$ $X$

M=[{\rm {force}}]\cdot [{\rm {force\,arm}}]=Fx

Například síla 3 newtony aplikovaná ve vzdálenosti 2 m od osy vytvoří stejný moment jako síla 1 newtonu s ramenem 6 m.

Působí-li dvě síly, hovoří o momentu dvojice sil (tato formulace sahá až k pracím Archimédovým ). V tomto případě je dosaženo rovnováhy v situaci . ${\displaystyle F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2))$

Pro případy složitějších pohybů a složitějších objektů vyžaduje definice okamžiku jako produktu univerzalizaci. $Fx$

Moment síly je někdy označován jako moment nebo moment. „Otáčivým“ momentem se v technice rozumí vnější síla působící na předmět a „momentovým“ momentem se rozumí vnitřní moment, který vzniká v objektu samotném působením působících zatížení (tento pojem se používá v pevnosti materiály ).

Moment síly kolem bodu

V obecném případě je moment síly působící na těleso definován jako vektorový součin $\vec{F}$

{\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]

kde je vektor poloměru bodu působení síly. Vektor je kolmý na vektory a . ${\vec {r))$ ${\vec {M}}$ ${\vec {r))$ $\vec{F}$

Počátek poloměrových vektorů O může být jakýkoli. Obvykle se O volí ve vybraném bodě: v místě, kde je zavěšení upevněno, v těžišti, na ose rotace atd. Pokud je moment hybnosti tělesa analyzován současně , pak je počátek O vždy vybrána jako stejná pro a . $\vec{L}$ $\vec{L}$ ${\vec {M}}$

Pokud není uvedeno jinak, „moment síly“ je moment síly kolem bodu (O), nikoli nějaké osy.

V případě několika působících soustředěných sil se jejich momenty vektorově sečtou:

{\vec {M}}=\sum _{i}\left[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}\right]

kde je vektor poloměru bodu působení th síly . V případě síly rozložené s hustotou , ${\vec {r}}_{i}$ $i$ ${\vec {F}}_{i}$ $d{\vec {F}}/dV$

{\vec {M}}=\int \limits _{V}\left[{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {F}}}{dV}}\right ]dV

Jestliže (N/m 3 ) je zobecněná funkce, která může obsahovat také členy podobné deltě, pak poslední dva vzorce pokrývají dva předchozí. $d{\vec {F}}/dV$

Moment síly kolem osy

Moment síly kolem osy je algebraická hodnota průmětu momentu na osu, tzn. ${\vec {M}}$

M_{\parallel }={\vec {M}}\cdot {\vec {e}}_{o}

kde je jednotkový vektor podél osy a počátek O je vybrán na ose. Moment síly kolem osy lze vypočítat jako ${\vec {e}}_{o}$

M_{\parallel }=\pm \left|{\vec {r}}_{\perp }\times {\vec {F}}_{\perp }\right|

kde a jsou složky vektoru poloměru a síly v rovině kolmé k ose. ${\vec {r}}_{\perp }$ ${\vec {F}}_{\perp }$

Na rozdíl od momentu síly se velikost momentu síly kolem osy nemění, když se bod O posune podél osy. ${\vec {M}}$ ${\displaystyle M_{\paralelní ))$

Pro stručnost lze symbol rovnoběžnosti a znak vynechat a (jako ) je nazývat „moment síly“. ${\displaystyle M_{\paralelní ))$ ${\vec {M}}$

Jednotky měření

Moment síly má rozměr „síla násobená vzdáleností“ a jednotkou měření je newtonmetr v soustavě SI . 1 Nm je moment vyvolaný silou 1 N na páku o délce 1 m, působící na konec páky a směřující kolmo k ní.

Formálně se rozměr (N m) shoduje s rozměry energie a mechanické práce . Ale použití jednotky "joule" v tomto kontextu je nežádoucí, protože to zakrývá fyzikální význam. ${\vec {M}}$

Některé příklady

Vzorec momentu páky

Moment síly působící na páku je

{\vec {M}}=rF\sin \alpha \cdot {\vec {e}}_{o}

nebo, když napíšeme moment síly kolem osy,

M_{\parallel }=rF\sin \alpha

kde je úhel mezi směrem síly a pákou. Pákový efekt je stejný . Maximální hodnoty momentu je dosaženo, když jsou páka a síla kolmé, tedy v . Při ko -směru a páce je moment roven nule. $\alpha$ $r\sin \alpha$ $\alpha =\pi /2$ $\vec{F}$

Statická rovnováha

Aby byl objekt v rovnováze, musí být nulový nejen součet všech sil, ale také součet momentů všech sil kolem libovolného bodu.

Pro dvourozměrný případ s horizontálními a vertikálními silami je požadavkem, aby součet sil ve dvou rozměrech byl nulový: a moment síly ve třetím rozměru: . $\Sigma F_{horizontální}=0,\,\Sigma F_{vertical}=0$ $\Sigma M=0$

Pohyb tuhého tělesa

Pohyb tuhého tělesa lze znázornit jako pohyb určitého bodu a rotaci kolem něj.

Moment hybnosti vzhledem k bodu O tuhého tělesa lze popsat součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti vzhledem k těžišti a lineárním pohybem těžiště.

{\vec {L_{o}}}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+[M({\vec {r_{o}}}-{\vec {r_{c }}}),{\vec {v_{c}}}}].

Budeme uvažovat rotační pohyby v Koenigově souřadnicovém systému , protože je mnohem obtížnější popsat pohyb tuhého tělesa ve světovém souřadnicovém systému.

Rozlišujme tento výraz s ohledem na čas. A pokud je konstantní v čase, pak $já$

{\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}),

kde - úhlové zrychlení , měřené v radiánech za sekundu za sekundu (rad/s 2 ). Příklad: Jednotný disk se otáčí. ${\vec {\alpha ))$

Pokud se tenzor setrvačnosti mění s časem, pak pohyb kolem těžiště je popsán pomocí Eulerovy dynamické rovnice:

{\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c} {\vec {w}}].

Vztah k jiným veličinám

S momentem hybnosti

Moment síly je derivace momentu hybnosti vzhledem k bodu O s ohledem na čas: ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

{\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}

Podobný vzorec lze napsat pro momenty kolem osy:

M_{\parallel }={\frac {dL_{\parallel }}{dt}}

Pokud je moment síly nebo nulový, moment hybnosti kolem odpovídajícího bodu nebo osy je zachován . ${\vec {M}}$ ${\displaystyle M_{\paralelní ))$

S výkonem

Pokud síla koná akci na jakoukoli vzdálenost, pak vykonává mechanickou práci a vyvíjí sílu (kde je rychlost hmotného bodu). Stejné je to v případě momentu síly: pokud vykonává akci přes „úhlovou vzdálenost“, vyvíjí se síla ${\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$ $\vec{v}$

P={\vec {M}}\cdot {\vec {\omega }}

V soustavě SI se výkon měří ve wattech a úhlová rychlost se měří v radiánech za sekundu . $P$ $\vec{\omega}$

S mechanickou prací

Pokud se při působení momentu síly těleso otočí o úhel , je vykonána mechanická práce ${\vec {M}}$ $d\varphi$

dA=\left|{\vec {M}}\right|d\varphi

Dostaneme , řekněme, páku kolem pevné osy o úhel $\varphi _{2}-\varphi _{1}$

A=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left|{\vec {M}}\right|d\varphi =\left|{\vec {M }}\right|(\varphi _{2}-\varphi _{1})=\left|{\vec {M}}\right|\int _{t_{1}}^{t_{2}} \omega (t)dt

V soustavě SI se práce měří v joulech a úhly se měří v radiánech . $A$

Dimenze práce (a energie) se shoduje s dimenzí momentu síly („newtonmetr“ a joule jsou stejné jednotky). Moment síly 1 N m, když se páka nebo hřídel pootočí o 1 radián, vykoná práci 1 J a při otočení o jednu otáčku vykoná mechanickou práci a předá joulovou energii. $2\pi$

Měření momentu síly

Měření momentu síly se provádí pomocí speciálních přístrojů - torziometrů . Princip jejich činnosti je většinou založen na měření úhlu natočení pružného hřídele, který přenáší krouticí moment, nebo na měření deformace některé pružné páky. Měření úhlu deformace a zkroucení se provádí různými tenzometry - tenzometrickými , magnetoelastickými , ale i malými posuvoměry - optickými, kapacitními , indukčními , ultrazvukovými , mechanickými.

Existují speciální momentové klíče pro měření utahovacího momentu závitových spojů a nastavitelné i nenastavitelné omezovače momentu, tzv. „ráčny“ používané v klíčích , šroubovácích , šroubových mikrometrech atd .

Z historie konceptu

Abychom pochopili, kde se vzal koncept momentu sil a jak k němu přišli, stojí za to zvážit působení síly na páku, která se otáčí kolem pevné osy. Práci vykonanou při působení síly na páku , která se otáčí kolem pevné osy, lze vypočítat na základě následujících úvah. ${\vec {F}}$ ${\vec {r))$

Nechť je při působení síly konec páky posunut o nekonečně malý segment , který odpovídá nekonečně malému úhlu . Označme vektorem, který směřuje podél nekonečně malého segmentu a je mu roven v absolutní hodnotě. Úhel mezi vektory a je , a úhel mezi vektory a je . $dl$ $d\varphi$ $d{\vec {l))$ $dl$ ${\vec {F}}$ $d{\vec {l))$ $\beta$ ${\vec {r))$ ${\vec {F}}$ $\alpha$

Proto je nekonečně malá práce vykonaná silou na nekonečně malém řezu rovna skalárnímu součinu vektoru a vektoru síly, tedy . $dA$ ${\vec {F}}$ $dl$ $d{\vec {l))$ $dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}$

Nyní se pokusíme vyjádřit modul vektoru pomocí vektoru poloměru a projekci vektoru síly na vektor pomocí úhlu . $d{\vec {l))$ ${\vec {r))$ ${\vec {F}}$ $d{\vec {l))$ $\alpha$

Protože pro nekonečně malý pohyb páky , můžeme předpokládat, že trajektorie pohybu je kolmá k páce , pomocí vztahů pro pravoúhlý trojúhelník můžeme napsat následující rovnost: , kde v případě malého úhlu a , tedy . $dl$ ${\vec {r))$ $dl=r\mathrm {tg} \,d\varphi$ $\mathrm {tg} \,d\varphi =d\varphi$ $\left|d{\vec {l}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi$

Pro projekci vektoru síly na vektor je vidět, že úhel , a protože , dostaneme ten . ${\vec {F}}$ $d{\vec {l))$ $\beta ={\frac {\pi }{2}}-\alpha$ $\cos {\left({\frac {\pi }{2))-\alpha \right)}=\sin \alpha$ $\left|{\vec {F}}\right|\cos \beta =\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$

Nyní zapišme nekonečně malou práci z hlediska nových rovnosti: , nebo . $dA=\left|{\vec {r}}\right|d\varphi \left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$ $dA=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha \,d\varphi$

Je vidět, že součin není nic jiného než modul vektorového součinu vektorů , a to znamená , který byl označen jako moment síly , neboli modul vektoru momentu síly . $\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|\sin \alpha$ ${\vec {r))$ ${\vec {F}}$ $\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|$ $M$ $\left|{\vec {M}}\right|$

Nyní je kompletní práce napsána jednoduše: , nebo . $A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right|d\varphi$ $A=\int \limits _{0}^{\varphi }\left|{\vec {M}}\right|d\varphi$