Laurentův polynom

Laurentův polynom jedné proměnné nad polem je lineární kombinací kladných a záporných mocnin proměnné s koeficienty od . Laurentův polynom se od běžných polynomů liší tím, že exponent může být záporný. Laurentovy polynomy jsou zvláštního zájmu ke studiu v teorii funkcí komplexní proměnné ( viz Laurentova řada ). $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$

Definice

Laurentův polynom s koeficienty z pole je vyjádřením tvaru $\mathbb {F}$

p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,

kde X je formální proměnná, je celé číslo (ne nutně kladné) a pouze konečné číslo je nezáporné. $k$ $p_{k}$

Dva Laurentovy polynomy jsou si rovny, pokud jsou jejich příslušné koeficienty stejné. Laurentovy polynomy lze sčítat a násobit stejně jako běžné polynomy, ale uvědomte si, že mohou existovat záporné mocniny X

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum _ {i}(a_{i}+b_{i})X^{i}

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\součet _{k}\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.

Protože počet nezáporných koeficientů a je konečný, pak všechny součty budou mít konečný počet členů a zobrazí se tedy Laurentův polynom. $aj}$ $b_{j}$

Vlastnosti

Na Laurentův polynom nad polem lze pohlížet jako na Laurentovu řadu s konečným počtem nezáporných koeficientů. $\mathbb {C}$
Laurentův polynomický prsten je podkruhem prstence zlomkových racionálních funkcí .

Literatura

Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 s.