Mnoho Vitali
Vitaliho množina je prvním příkladem množiny reálných čísel , která nemá Lebesgueovu míru . Tento příklad, který se stal klasikou, popsal italský matematik Giuseppe Vitali v roce 1905. [jeden]
Historie
Rok před Vitaliho článkem, v roce 1904, Henri Lebesgue publikoval přednášky o integraci a hledání primitivních funkcí, kde nastínil svou teorii míry a vyjádřil naději, že by byla použitelná pro jakoukoli omezenou množinu reálných čísel. Objev sady Vitali ukázal, že tato naděje nebyla oprávněná. Následně byly objeveny další protipříklady , ale jejich konstrukce je vždy v podstatě založena na axiomu výběru .
Konstrukce
Uvažujme následující vztah ekvivalence na intervalu : je-li rozdíl racionální . Jako obvykle tento vztah ekvivalence rozděluje interval do tříd ekvivalence, z nichž každá má spočetnou mohutnost, ale jejich počet má mohutnost kontinua . Dále z každé třídy ekvivalence vybereme zástupce - jeden bod (zde použijeme axiom výběru ). Pak bude výsledná množina zástupců neměřitelná.
![[0,\;1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2421e6dd8ecf6af6a9a44ebe41ff776dcf98d68e)
Pokud totiž posuneme spočetný počet krát o všechna racionální čísla z intervalu , pak sjednocení bude obsahovat celý segment , ale zároveň bude obsaženo v segmentu . V tomto případě se nebudou "posunuté kopie" sestavy vzájemně protínat, což přímo vyplývá z konstrukce a .
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971caee396752d8bf56711f55d2c3b1207d4a236)
![{\displaystyle [-1,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc5b328607efcb680d283c480e4845d34b684636)
Předpokládejme, že je Lebesgue měřitelný , pak jsou možné 2 možnosti.
- Míra E se rovná nule. Pak bude míra intervalu jako spočetné sjednocení množin míry nula také rovna nule.
- Míra E je větší než nula. Pak podobně dojdeme k závěru, že míra intervalu , díky spočetné aditivitě Lebesgueovy míry, bude nekonečná.
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
V obou případech je výsledkem rozpor. Sada Vitali tedy není Lebesgueova měřitelná.
Poznámky
- ↑ Vitali, Giuseppe . Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta (italsky) // Bologna, Tip. Gamberini a Parmeggiani: deník. — 1905.
Literatura
- Brylevskaya L. I. K historii problému míry v první polovině 20. století // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1986. - č. 30 . - S. 97-112 .
- Gelbaum, B., Olmsted, J. Counterexamples in Analysis = Counterexamples in Analysis. — M. : LKI, 2007. — 258 s. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .
- Yashchenko IV Paradoxy teorie množin. Řada "Knihovna" Matematické vzdělávání "", číslo 20, 2002. ISBN 5-94057-003-8