Model volných elektronů

Model volných elektronů , také známý jako Sommerfeldův model nebo Drude-Sommerfeldův model, je jednoduchý kvantový model chování valenčních elektronů v atomu kovu , vyvinutý Arnoldem Sommerfeldem na základě klasického Drudeova modelu s přihlédnutím k Fermiho modelu. -Diracova kvantová mechanická statistika. Elektrony kovu jsou v tomto modelu zpracovány jako Fermiho plyn .

Rozdíl mezi Sommerfeldovým modelem a Drudeovým modelem je v tom, že ne všechny valenční elektrony kovu se účastní kinetických procesů, ale pouze ty, které mají energii v rozsahu Fermiho energie , kde je Boltzmannova konstanta , T je teplota. Toto omezení vyplývá z Pauliho principu , který zakazuje elektronům mít stejná kvantová čísla . V důsledku toho jsou při konečných teplotách nízkoenergetické stavy naplněny, což brání elektronům ve změně jejich energie nebo směru pohybu. $k_{B}T$ $k_B$

Navzdory své jednoduchosti model vysvětluje mnoho různých jevů, včetně:

zákon Wiedemann-Franz ;
teplotní závislost tepelné kapacity ;
elektrická vodivost ;
termionická emise ;
tvar hustoty stavů elektronů;
rozsah vazebných energií.

Hlavní myšlenky a předpoklady

Jestliže v Drudeově modelu byly elektrony kovu rozděleny na vázané a volné, tak v kvantové mechanice jsou díky principu identity částic elektrony kolektivizované a patří celému pevnému tělu. Jádra atomů kovů tvoří periodickou krystalovou mřížku, ve které jsou podle Blochovy věty stavy elektronů charakterizovány kvazihybností . Energetické spektrum kovových elektronů je rozděleno do zón, z nichž nejvýznamnější je částečně vyplněný vodivostní pás tvořený valenčními elektrony.

Sommerfeldův model nespecifikuje disperzní zákon pro elektrony v pásmu vodivosti, pouze předpokládá, že odchylky od parabolického disperzního zákona pro volné částice jsou nevýznamné. V počáteční aproximaci teorie zanedbává interakci elektron-elektron a považuje elektrony za ideální plyn. Abychom však vysvětlili kinetické procesy, jako je elektrická a tepelná vodivost, rozptyl elektronů na sobě, na vibracích krystalové mřížky a defekty, je třeba to vzít v úvahu. Při zvažování těchto jevů je důležité znát rozložení energie částic. Proto se k popisu elektronové kinetiky používá Boltzmannova rovnice . Elektrostatické pole uvnitř vodiče je považováno za slabé kvůli stínění.

Energetická a vlnová funkce volného elektronu

Schrödingerova rovnice pro volný elektron má tvar [1] [2] [3]

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)

Vlnovou funkci lze rozdělit na prostorovou a časovou část. Řešením časově závislé rovnice je $\Psi (\mathbf {r} ,t)$

{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t))

s energií

E=\hbar \omega

Řešení prostorové, časově nezávislé části je

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r))))e^{i\mathbf {k} \ cdot \mathbf {r} }

s vlnovým vektorem . mají objem prostoru, kde může být elektron. Kinetická energie elektronu je dána rovnicí: $\mathbf {k}$ ${\displaystyle \Omega _{r))$

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

Řešení rovinné vlny této Schrödingerovy rovnice je

\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r))))e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

Fyzika pevných látek a fyzika kondenzovaných látek se zabývají především časově nezávislým řešením . $\psi _{\mathbf {k} } (\mathbf {r} )$

Vezmeme-li v úvahu periodicitu krystalové mřížky podle Blochovy věty, změní se tato funkce na

\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r))))\phi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf { k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

kde je periodická funkce. Mění se také závislost energie na vlnovém vektoru. Pro zohlednění těchto modifikací se široce používají různé modelové hamiltoniany, například: aproximace téměř volných elektronů, aproximace těsné vazby a tak dále. $\phi (\mathbf {r} )$

Fermiho energie

Pauliho princip zakazuje, aby elektrony měly vlnové funkce se stejnými kvantovými čísly. Pro elektron popsaný Blochovou vlnou jsou kvazihybnost a spin kvantová čísla. Základní stav elektronového plynu odpovídá situaci, kdy jsou všechny jednoelektronové stavy s nejnižší energií naplněny na určitou energii , která se nazývá Fermiho energie. Pro parabolickou zónu je energie dána jako $E_F$

E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

takové plnění znamená, že jsou obsazeny všechny stavy s vlnovým vektorem menším než , , který se nazývá Fermiho vlnový vektor. Fermiho vektor je $|\mathbf {k} |<k_{F}$ $k_{F}$

k_{F}=(3\pi ^{2}N_{e}/V)^{1/3}

kde je celkový počet elektronů v systému a V je celkový objem. Pak Fermiho energie $N_e$

E_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N_{e}}{V}}\right)^ {2/3}

Při aproximaci téměř volných elektronů by měl být valenční kov nahrazen , kde je celkový počet kovových iontů. $Z$ $N_e$ $NZ$ $N$

Rozložení energie elektronů

Při nenulové teplotě není elektronický subsystém kovu v základním stavu, avšak rozdíl zůstane relativně malý, pokud , což je obvykle případ. Pravděpodobnost, že bude obsazen jednoelektronový stav s energií E , je dána Fermiho funkcí $k_{B}T\ll E_{F}$

f(E)={\frac {1}{e^{(E-E_{F})/k_{B}T}+1}}

kde je Fermiho hladina. Při teplotě absolutní nuly , kde je chemický potenciál . $E_{F}$ $E_{F}=\mu$ $\mu$

Předpovědi teorie

Model umožňuje správně popsat řadu vlastností kovů a jejich změn spojených s teplotou.

Tepelná kapacita

Při zahřívání se energie přenáší na elektrony kovu. Elektrony, jejichž energie je menší než Fermiho energie, však svůj stav změnit nemohou. K tomu by musely přejít do stavu s vyšší energií, který je již s vysokou pravděpodobností obsazen jiným elektronem, a to Pauliho princip zakazuje. Energii tedy mohou přijímat pouze elektrony s energiemi blízkými Fermiho energii. Takových elektronů je málo, přibližně . Proto je při vysokých teplotách příspěvek elektronického subsystému k tepelné kapacitě kovu malý ve srovnání s příspěvkem atomů krystalové mřížky. $N_{e}k_{B}T/E_{F}\ll N_{e}$

Situace se mění při nízkých teplotách, nižších než je Debyeova teplota , kdy je tepelná kapacita mřížky úměrná , zatímco tepelná kapacita elektronického subsystému je úměrná . Pak dominuje příspěvek elektronů k tepelné kapacitě a tepelná kapacita kovu je na rozdíl od dielektrik úměrná teplotě. $T^{3}$ $T$

Elektrická vodivost

Sommerfeldův model pomohl překonat problém Drudeova modelu s hodnotou střední volné dráhy elektronů. V modelu Drude je hustota elektrického proudu dána vzorcem

\mathbf {j} =n{\frac {e^{2}\tau }{m}}\mathbf {E}

kde je elektronová hustota a relaxační čas. Pokud se rovná počtu valenčních elektronů v pevné látce, pak pro získání skutečných hodnot vodivosti kovů musí být relaxační doba, a tedy i dráha elektronů, malá, což odporuje teorii ideálního plynu. V Sommerfeldově modelu zlomek elektronů s energiemi blízkými Fermiho energii. Je úměrná malé hodnotě . Pak je v kovu relativně málo elektronů, které lze urychlit elektrickým polem, ale délka jejich dráhy je velká. $n$ $\tau$ $n$ $n$ $k_{B}T/E_{F}$

Poznámky

↑ Albert Mesiáš. Kvantová mechanika (neopr.) . - Dover Publications , 1999. - ISBN 0-486-40924-4 .
↑ Stephen Gasiorowicz . Kvantová fyzika (neopr.) . - Wiley & Sons , 1974. - ISBN 0-471-29281-8 .
↑ Eugene Merzbacher. Kvantová mechanika (neopr.) . — 3. - Wiley & Sons , 2004. - ISBN 978-9971-5-1281-1 .

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Britannica (online) Britannica (online)