Monoidní funktor

V teorii kategorií jsou monoidní funktory funktory mezi monoidními kategoriemi , které zachovávají monoidní strukturu, tedy násobení a prvek identity.

Definice

Nechť a být monoidální kategorie. Monoidální funktor od do se skládá z funktoru , přirozené transformace $({\mathcal {C)),\otimes ,I_{\mathcal {C)))$ $({\mathcal {D)),\bullet ,I_{\mathcal {D)))$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$ $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

\phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)

a morfismus

\phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}

nazývané strukturní morfismy takové, že pro libovolné , , do diagramů $A$ $B$ $C$ ${\mathcal C}$

jsou komutativní v kategorii . Zde používáme standardní označení pro monoidní strukturu kategorií a . ${\mathcal D}$ $\alpha ,\rho ,\lambda$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal D}$

Silně monoidní funktor je takový monoidní funktor, že strukturní morfismy jsou invertibilní. $\phi _{A,B},\phi$

Striktně monoidní funktor je monoidní funktor, jehož strukturní morfismy jsou shodné.

Příklad

Zapomnětlivý funktor z kategorie abelovských grup do kategorie množin. Zde strukturální morfismus je surjekce vyvolaná standardním mapováním ; mapování překládá singleton * na 1. $U:(\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{*\})$ $\phi _{A,B}\dvojtečka U(A)\krát U(B)\to U(A\očas B)$ $A\times B\to A\otimes B\to$ $\phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z}$

Poznámky

Kelly, G. Max (1974), "Doctrinal adjunction", Lecture Notes in Mathematics , 420 , 257-280