Wirtingerova nerovnost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. března 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Historicky byla Wirtingerova nerovnost nazývána nerovností v následující větě:

Nechť je funkce f : R → R spojitě diferencovatelná a 2π -periodická , a nechť

\int \limits _{0}^{2\pi }f(x)dx=0

Pak

\int \limits _{0}^{{2\pi }}f^{2}(x)dx\leq \int \limits _{0}^{{2\pi }}f'^{2}( x) dx

a rovnosti je dosaženo tehdy a jen tehdy

f(x)=a\sin x+b\cos x

, pro některé a a b

nebo, což je totéž,

f(x)=c\sin(x+d)

pro některé c a d .

Tato nerovnost byla použita při důkazu věty o největší ploše pro pevný obvod .

Aktuální stav problému

Je snadné vidět, že Wirtingerova nerovnost dává do souvislosti normy v prostoru derivace a samotné funkce: $L^{2}$

{\|f\|}_{{L^{2}}}^{2}\leq {\|f'\|}_{{L^{2}}}^{2}

V této podobě je nerovnost jednorozměrnou obdobou Friedrichsovy nerovnosti .

Je jasné, že se lze pokusit najít podobnou nerovnost pro různé (a dokonce odlišné) normy na pravé a levé straně nerovnosti. Tímto problémem se intenzivně zabývalo mnoho matematiků, stačí uvést, že v jednom přehledovém článku o Wirtingerově nerovnosti bylo uvedeno více než 200 odkazů na práce různých autorů. V mnoha případech se najdou jak přesné konstanty, které je třeba umístit před normu derivace, tak i extrémní funkce, na kterých se nerovnost mění v rovnost.