Pidoova nerovnost

Pidotova nerovnost (také Pidot-Neubergova nerovnost) je nerovnost v geometrii pojmenovaná po Danielu Pidotovi (1910-1998) a Josephu Neubergovi (1840-1926). Nerovnice říká, že pokud , , a , , jsou délky stran trojúhelníků a , a a jsou jejich plochy, pak $A$ $b$ $C$ $A'$ $b'$ $C'$ $ABC$ $A'B'C'$ $S$ $S'$

a^{2}(-{a'}^{2}+{b'}^{2}+{c'}^{2})+b^{2}({a'}^{ 2}-{b'}^{2}+{c'}^{2})+c^{2}({a'}^{2}+{b'}^{2}-{c'} ^{2})\geq 16SS',

a rovnosti je dosaženo tehdy a pouze tehdy, pokud jsou tyto trojúhelníky podobné s dvojicemi odpovídajících stran , a . $(a,a')$ $(b,b')$ $(c,c')$

Výraz nalevo je nejen symetrický pro permutace dvojic , a , ale také (což možná není tak zřejmé) zůstává nezměněn, pokud a , a , a jsou zaměněny . Jinými slovy, výraz vlevo je symetrickou funkcí dvojice trojúhelníků. $(a,a')$ $(b,b')$ $(c,c')$ $A$ $A'$ $b$ $b'$ $C$ $C'$

Speciálním případem Pidovy nerovnosti, ve které je jeden z trojúhelníků rovnostranný , je Weizenbockova nerovnost .

Pido objevil tuto nerovnost v roce 1941 a publikoval ji v několika článcích. Později se dozvěděl, že nerovnost byla známa již Neubergovi v 19. století, který však neprokázal, že rovnost implikuje podobnost dvou trojúhelníků.

Literatura

Daniel Pedoe: Nerovnost spojující libovolné dva trojúhelníky . The Mathematical Gazette, sv. 25, č. 267 (prosinec 1941), str. 310-311 ( JSTOR archivováno 18. srpna 2016 na Wayback Machine )
Daniel Pedoe: Nerovnost se dvěma trojúhelníky . The American Mathematical Monthly , ročník 70, číslo 9, strana 1012, listopad, 1963.
Daniel Pedoe: Nerovnost pro dva trojúhelníky . Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, svazek 38, část 4, strana 397, 1943.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Když méně je více: Vizualizace základních nerovností . MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, s. 108 Archivováno 18. srpna 2016 na Wayback Machine
DS Mitrinović, Josip Pečarić: O Neuberg-Pedoe a Oppenheimských nerovnostech . Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 leden 1988 ( online kopie archivována 7. srpna 2016 na Wayback Machine )