Frobeniova nerovnost

V lineární algebře je Frobeniova nerovnost následující nerovnost pro řady matic :

\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC\leqslant \mathrm {rank} \,ABC+\mathrm {rank} \,B.

V této nerovnosti musí rozměry matic , a umožňovat existenci matice (tj. tyto matice mají rozměry , respektive ). $A$ $B$ $C$ $ABC$ $i\times j$ $j\times k$ $k\times l$

Nerovnice je pojmenována po matematikovi F. G. Frobeniusovi , který ji objevil .

První důkaz

Pokud a , tak . $U\subset V$ $X:V\šipka doprava W$ $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$

Zapišme tuto nerovnost pro : $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$

\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB

Je také zřejmé, že [1] . $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$

Druhý důkaz

Zvažte blokovou matici

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}

Pokud na matici aplikujeme řetězec elementárních transformací, ty, jak známo, nemění hodnost matice. $M$

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC \\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}

Pak $\mathrm {rank} \,B+\mathrm {rank} \,ABC=\mathrm {rank} \,M=\mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}} \geqslant \mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC$

Poznámky

↑ Problémy a věty lineární algebry, 1996 , str. 73.

Literatura

Carl D Meyer. Maticová analýza a aplikovaná lineární algebra
Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .