Schweitzerova nerovnost

Schweitzerova nerovnost říká následující

Pro všechna reálná čísla patřící do intervalu , kde platí následující nerovnost: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]\;$ $M\geqslant m>0$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} .

Navíc, pokud je to zvláštní, pak $\;n$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} -{\frac {(mM)^{2}}{4mM}}.

Historie

Tato nerovnost byla publikována v roce 1914 v článku [1] maďarského matematika Miklóse Schweitzera . V příloze [2] je anglický překlad tohoto článku . Vzhledem k tomu, že Schweitzerův článek znal málokdo, než se objevil anglický překlad, je nerovnost (její druhá část) obvykle spojována [3] se jménem Alexandru Ioana Lupaše , který tuto nerovnost prokázal [4] téměř o 60 let později než Schweitzer.

Ekvivalentní nerovnosti

( V. Sierpinski [5] ) Pro všechna kladná čísla $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\right)^{n}n^{2} ,

kde A a G označují aritmetický průměr a geometrický průměr . $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$

Důsledky

( O. Shisha [6] ) Pro všechna reálná čísla patřící do segmentu , kde , platí nerovnost: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$

{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}} +{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (Mm)^{2}.

(Z.-C. Hao). Reálná čísla patří do intervalu , kde . Za podmínky a následující nerovnosti platí: $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$ $0<q\leqslant p<1$ $p+q=1$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^ {q}M^{q}}}.

Zobecnění

Kantorovičova

Poznámky

↑ Schweitzer P. Egy egyenlőtlenség az aritmetikai középértékről (neopr.) // Math. es. Phys. Lapok.. - 1914. - T. 23 . - S. 257-261 . (Maď.) ("Nerovnost obsahující aritmetický průměr")
↑ Watson GS, Alpargu G., Styan GPH Několik komentářů k šesti nerovnostem spojeným s neefektivitou obyčejných nejmenších čtverců s jedním regresorem // Lineární algebra a její aplikace. : deník. - 1997. - Sv. 264 . - str. 13-54 . - doi : 10.1016/S0024-3795(97)00228-0 .
↑ Mitrinović DS, Pečarić JE, Fink AM Klasické a nové nerovnosti v analýze. Matematika a její aplikace . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1993. - Sv. 61. - (Východoevropská řada).
↑ Lupaş A. Poznámka k Schweitzerovým a Kantorovičovým nerovnostem (neopr.) // Publ. Elek. Fak. Univ. Bělehradský Ser. Rohož. i Fiz .. - 1972. - T. 381-409 . - S. 13-15 .
↑ Sierpiński W. Über eine auf das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung (německy) // Warsch. Sitzungsber. : prodejna. - 1909. - Bd. 2 . - S. 354-367 . (Němec)
↑ Shisha O. Nerovnosti I . - New York-Londýn, 1967. - S. 293-308.

Zdroj

A. Khrabrov. Schweitzerova nerovnost // V So. Úkoly Petrohradské olympiády pro školáky v matematice, 2005. Něvský dialekt, 2005. - S. 89--96 .. Archivováno 20. května 2006.