Hustota sekvence

Hustota sekvencí je koncept obecné aditivní teorie čísel , která studuje zákony sčítání celočíselných sekvencí obecného tvaru. Hustota posloupnosti je mírou toho, jak velká část posloupnosti všech přirozených čísel patří k dané posloupnosti nezáporných celých čísel . Pojem sekvenční hustota se vztahuje k hustotě zavedené v roce 1930 Schnirelmannem (odtud anglický název termínu - Schnirelmannova hustota) sekvence A, konkrétně: $A=\{a_{i}\}$ $0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\dots$ $d(A)$

d(A)=\inf _{n\in \mathbb {Z} _{+))(\pi _{A}(n)-1)/n

kde je počet členů posloupnosti nepřesahující . $\pi _{A}(n)$ $A$ $n$

Související definice

Dovolit být aritmetický součet posloupností a , tj. soubor . $A+B$ $A=\{a_{i}\}$ $B=\{b_{i}\}$ ${\displaystyle A+B=\{c\in \mathbb {Z} _{+}|c=a+b,a\v A,b\v B\))$

Pokud věří , podobně atd. $A=B$ $2A=A+A$ $3A=2A+A$

Jestliže , potom se nazývá základem tého řádu . ${\displaystyle nA=\mathbb {Z} _{+))$ $A$ $n$

Vlastnosti

Hustota právě tehdy, pokud se shoduje s množinou všech nezáporných celých čísel. $d(A)=1$ $A$ $\Z_+$
Shnirelmanova nerovnost

d(A+B)\geq d(A)+d(B)-d(A)d(B)

Mann-Dysonova nerovnost

{\displaystyle d(A+B)\geq \min\{d(A)+d(B),1\))

Ze Shnirelmanovy nerovnosti vyplývá, že jakákoli posloupnost kladné hustoty je základem konečného řádu. Aplikace této skutečnosti na aditivní úlohy, ve kterých se často sčítají sekvence s nulovou hustotou, se provádí předkonstruováním nových sekvencí s kladnou hustotou z daných sekvencí. Například pomocí sítových metod je dokázáno, že posloupnost , kde prochází prvočísly , má kladnou hustotu. To implikuje Shnirelmanův teorém : existuje celé číslo takové, že jakékoli přirozené číslo je součtem nejvýše prvočísel. Tato věta dává řešení tzv. oslabený Goldbachův problém . $\{p\}+\{p\}$ $p$ $c_{0}>0$ $c_{0}$

Variace a zobecnění

Variací konceptu hustoty sekvence je koncept asymptotické hustoty , jehož zvláštním případem je přirozená hustota .

Pojem hustoty posloupnosti je zobecněn na číselné posloupnosti jiné než přirozené řady, například na posloupnosti celých čísel v algebraických číselných polích. Díky tomu je možné studovat základy v algebraických oborech.