Aditivní teorie čísel

Aditivní teorie čísel je odvětvím teorie čísel , které vzniklo při studiu problémů rozkladu celých čísel na termíny daného tvaru [1] (například na prvočísla , složená čísla , e mocniny atd.).

Z klasických problémů, jejichž studium položilo základy aditivní teorie čísel, můžeme jmenovat následující [1] .

Řešení těchto problémů komplikuje skutečnost, že na formulacích se současně podílí několik základních operací s přirozenými čísly :

Vztah mezi aditivními a multiplikativními vlastnostmi čísel je extrémně složitý a tato složitost je zodpovědná za obtížnost řešení mnoha problémů v teorii čísel [2] .

Moderní aditivní teorie čísel zahrnuje širokou škálu problémů při studiu abelovských grup a komutativních pologrup s operací sčítání [3] . Aditivní teorie čísel úzce souvisí s kombinatorickou teorií čísel (zejména s aditivní kombinatorikou ) [4] a s geometrií čísel , využívá analytické , algebraické a pravděpodobnostní metody. V závislosti na metodách řešení jsou aditivní úlohy nedílnou součástí dalších částí teorie čísel - analytické teorie čísel , algebraické teorie čísel , pravděpodobnostní teorie čísel [1] .

Historie

První systematické výsledky v aditivní teorii čísel přišly od Leonharda Eulera , kdo publikoval v 1748 vyšetřování (prostřednictvím mocninných řad ) expanze přirozených čísel do přirozených termínů; zejména se zabýval problémem rozkladu čísla na daný počet členů a dokázal větu o pětiúhelníkových číslech [5] . Ve stejném období vznikly dva klasické problémy aditivního typu: Goldbachův problém a Waringův problém a později se objevily desítky nových problémů.

K vyřešení mnoha z těchto problémů se osvědčily obecné nástroje, jako je Hardy-Littlewoodova kruhová metoda , sítová metoda [6] a metoda trigonometrického součtu . Hilbert dokázal [7] , že pro jakékoli celé číslo je jakékoli přirozené číslo součtem omezeného počtu členů na mocninu . Lev Shnirelman v roce 1930 zavedl koncept hustoty posloupnosti přirozených čísel, který umožnil významný pokrok v řešení Goldbachovy úlohy a dokazování zobecněné Waringovy věty [8] ..

Grigory Freiman v roce 1964 prokázal důležitou větu z oblasti aditivní kombinatoriky .

Aktuální stav

Podmnožina se nazývá (asymptotická) aditivní báze [9] konečného řádu, jestliže nějaké dostatečně velké přirozené číslo lze zapsat jako součet nejvýše prvků . Například přirozená čísla jsou sama o sobě aditivním základem řádu 1, protože každé přirozené číslo je triviálně součtem nejvýše jednoho přirozeného čísla. Méně triviální je Lagrangeova věta o součtu čtyř čtverců , která ukázala, že množina čtvercových čísel je aditivní bází čtvrtého řádu. Dalším velmi netriviálním a široce známým výsledkem v tomto směru je Vinogradovova věta, že každé dostatečně velké liché přirozené číslo lze reprezentovat jako součet tří prvočísel [10] .

Mnoho moderních studií v této oblasti se týká vlastností obecných asymptotických bází konečného řádu. Například množina se nazývá minimální asymptotická báze řádu, pokud je asymptotickým základem řádu , ale žádná vlastní podmnožina není asymptotickým základem řádu . Bylo prokázáno [11] , že minimální asymptotické základy řádu existují pro libovolné , a existují i ​​asymptotické základy řádu , které minimální asymptotické základy řádu neobsahují .

Zvažuje se i problém - jak moc je možné snížit počet zobrazení ve formě součtu prvků asymptotické báze. Tomu se věnuje dosud neprokázaný Erdős-Turan conjecture (1941) [12] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 Matematická encyklopedie, 1977 , str. 91.
  2. ↑ Matematika, její obsah, metody a význam (ve třech dílech). - 1956. - T. 2. - S. 225. - 397 s.
  3. ↑ Mann, 1976 .
  4. ↑ Tao, 2006 .
  5. ↑ O Eulerově pentagonální větě Archivováno 31. ledna 2020 na Wayback Machine na MathPages .
  6. ↑ Matematická encyklopedie, 1984 , str. 979.
  7. ↑ Karatsuba A. A. Hilbert-Kamke problém v analytické teorii čísel . Staženo: 1. prosince 2020.
  8. ↑ Matematika v SSSR třicet let. 1917-1947 / Ed. A. G. Kurosh , A. I. Markushevich , P. K. Rashevsky . - M. - L .: Gostekhizdat , 1948. - S. 56-57. — 1044 s.
  9. ↑ Bell, Jason; Hare, Kathryn & Shallit, Jeffrey (2018), Kdy je automatická sada aditivním základem? , Proceedings of the American Mathematical Society , Series B vol. 5: 50-63 , DOI 10.1090/bproc/37 
  10. ↑ Karatsuba A. A. Euler a teorie čísel // Moderní problémy matematiky. Problém. 11. - M. : MIAN , 2008. - S. 19-37. — 72 s. — ISBN 5-98419-027-3 .
  11. ↑ Nathanson MB Minimální báze a maximální nebáze v aditivní teorii čísel // J. Teorie čísel. - 1974. - Sv. 6, č. 4. - S. 324-333.
  12. ↑ Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. O Erdős–Turánově domněnce // J. Teorie čísel. - 2003. - Sv. 102, č.p. 2. - S. 339-352.

Literatura

Odkazy