Aditivní kombinatorika

Aditivní kombinatorika (z anglického sčítání - sčítání) je interdisciplinární [1] oblast matematiky, která studuje vzájemnou závislost různých kvantitativních interpretací konceptu strukturovanosti podmnožiny skupiny (zpravidla konečné), jakož i jako podobné vlastnosti derivátů množiny struktur používaných v těchto interpretacích. Navíc aditivní kombinatorika studuje strukturovanost v různých smyslech některých specifických množin nebo tříd množin (například podmnožin prvočísel nebo multiplikativních podgrup ).

Hlavním předmětem studia jsou tedy konečné množiny , pokud možno co nejabstraktnější, někdy omezené pouze svou velikostí, čímž se tato věda podobá kombinatorice . Avšak na rozdíl od kombinatoriky jako takové, kde jsou prvky množin identifikovány pouze jejich vzájemnou odlišností a příslušností k té či oné uvažované množině, má v aditivní kombinatorice každý prvek množiny jasný význam a objevují se mezi nimi další vztahy. , vyplývající z jejich hodnot a vlastností fungování skupiny (a případně specifických zákonitostí specifických pro danou skupinu).

Aditivní kombinatorika úzce souvisí s aritmetickou kombinatorikou , kde je předmětem studia vztah podmnožiny oboru (a nikoli pouze skupiny, jako zde) se dvěma operacemi najednou - sčítáním a násobením.

Předpoklady pro vznik

Aditivní teorie čísel

Problematikou reprezentace čísel pomocí součtů prvků z malého počtu daných množin se zabývali matematici již od starověku. Klasickými příklady jsou problémy reprezentovatelnosti libovolného čísla součtem čtyř čtverců ( Lagrangeova věta o součtu čtyř čtverců ) nebo jakéhokoli sudého čísla většího než tři součtem dvou prvočísel ( Goldbachův problém ). Označíme-li množinou všech druhých mocnin nezáporných čísel, pak z hlediska aditivní kombinatoriky (viz oddíl notace níže) lze Lagrangeův teorém zapsat jako $Q=\left\lbrace {0}\right\rbrace \cup \left\lbrace {n^{2}:n\in {\mathbb {N} }}\right\rbrace$

Q+Q+Q+Q={\mathbb {N} }

V průběhu řešení podobných problémů vyvstaly další podobné, s různými sadami, ale podobnými formulacemi. To vše vytvořilo pole matematiky zvané aditivní teorie čísel .

Aditivní kombinatorika by však neměla být brána jako zobecnění nebo rozvoj aditivní teorie čísel - ačkoli problémy této teorie lze pohodlně napsat z hlediska aditivní kombinatoriky, její obecné metody na ně zpravidla nejsou použitelné. Teorie čísel vždy uvažuje množiny zvláštního druhu - prvočísla, druhé mocniny, jiné mocniny, čísla s malým počtem dělitelů atd. Aditivní kombinatorika se snaží porozumět struktuře sčítání jako takové, odvodit co nejobecnější výsledky.

Přesto se první výsledky, které lze v duchu klasifikovat jako aditivně-kombinatorické, zrodily na počátku 20. století právě jako součást teorie čísel (nazývané také kombinatorická teorie čísel). [1] Taková je například Shnirelmanova metoda pro řešení Goldbachovy úlohy (kterou Linnik aplikoval i pro Waringův problém ) - je založena na Shnirelmanově teorému o množině součtů čísel ze dvou libovolných množin, u kterých je známa pouze jejich hustota [2] (poznamenejme, že velmi specifická definice hustoty podle Shnirelmana, která byla použita v této větě, se v aditivní kombinatorice jako předmět pro studium neujala).

Ramseyho teorie

Ramseyho teorie, která vznikla v první polovině 20. století , také analyzovala různé představy o strukturovanosti. Výroky Ramseyho teorie se týkají přítomnosti alespoň malého „ostrůvku“ struktury v dosti složitých (co do počtu elementárních částí) objektech. [3]

Ramseyova teorie však neuvažuje podmnožiny, ale oddíly dané množiny (například množinu hran grafu, přirozených čísel nebo část booleanu konečné množiny) a výsledek na struktuře znamená, že jeden z prvků oddílu má strukturu a zpravidla není jasné jakou. Proto nelze nic říci o žádné konkrétní podmnožině.

Dobrým příkladem je van der Waerdenova věta – říká, že pro jakékoli rozdělení přirozených čísel na konečný počet tříd bude mít alespoň jedna z tříd aritmetický průběh (jakékoli dané délky). Přitom je zřejmé, že v každém oddíle existuje třída, ve které je hustota čísel větší než v jiných a intuitivně se zdá, že progrese by měla být v této množině - vždyť zde je nejvíce prvků , tedy nejvíce možností. Je také zřejmé, že největší soubor bude mít kladnou (nenulovou) hustotu. Dokázat však, že absolutně jakákoli nekonečná množina přirozených čísel kladné hustoty obsahuje aritmetickou posloupnost, nelze získat jednoduše pomocí van der Waerdenovy věty – podle ní může být posloupnost v jakékoli třídě, dokonce i v té nejmenší. K prokázání přítomnosti progrese v jakékoli husté množině je třeba zapojit mnohem složitější prostředky – řešení tohoto problému se nazývá Szemerediho věta , která je právě považována za klasický aditivně-kombinatorický výsledek.

Goniometrické součty

Flexibilním nástrojem pro posouzení uspořádání množiny, který sehrál významnou roli i v aditivní teorii čísel, jsou goniometrické součty (součty kořenů jednoty odpovídající číslům množiny). Staly se nástrojem a předmětem studia i v aditivní kombinatorice, protože umožňují poměrně obecné použití.

I Gauss, který jako první zkoumal trigonometrické součty, jejich prostřednictvím objevil souvislost mezi rozložením všech možných rozdílů čísel z dané množiny a množinou samotnou. Gauss zkoumal kvadratické zbytky a zvážil součet

S(a)=\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{2}}{p}}i}}

a výstup odhadu druhé mocniny jeho modulu:

|S(a)|^{2}=\sum \limits _{x,y}{e^{2\pi {\frac {a(x^{2}-y^{2})} {p}}i}}

Odhad pro tento součet byl získán čistě kombinatoricky z vlastností výrazu pod změnou proměnné . [4] Množina rozdílů tedy poskytla informace o struktuře množiny samotných kvadratických zbytků. V aditivní kombinatorice funguje koncepčně podobný přístup, kdy informace o struktuře této množiny poskytuje již množina, nikoli multimnožina rozdílů (nebo součtů, součinů atd.) prvků z dané množiny. Takový přechod - od multimnožiny k množině - je spojen s přechodem od počtu řešení konkrétní rovnice (například ) k zobrazení čísel v té či oné formě (například ve tvaru ), která je v principu charakteristická pro metodu goniometrických součtů. $x^{2}-y^{2}$ $x=y+h$ $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2},a_{i}\in A,b_{i}\in B$ $a+b,a\in A,b\in B$

Freimanův teorém

Samostatným základem pro vývoj nové vědy o prvkových součtech množin (množin součtů ) byla věta dokázaná Grigory Freimanem o struktuře množin s malým zdvojením (tj. množin, jejichž množina součtů dvou prvků má malá velikost, nebo jednodušeji, součty prvků, které se často shodují) . [5] $A+B=\left\lbrace {a+b:a\v A,b\v B}\vpravo\rbrace$

Erdős a Szemeredi se zabývali také otázkami o součtech prvků z dané množiny, aniž by zaváděli zvláštní symboliku k označení součtu množin. [6]

Předmět

Spousta součtů

Důležitým pojmem v aditivní kombinatorice je množina součtů

A+B=\left\lbrace {a+b:a\v A,b\v B}\vpravo\rbrace

pro konečné množiny , kde je skupina. Velikost takového souboru je dána strukturou a vzhledem k provozu . Jestliže a jsou aritmetické posloupnosti, pak to nestačí. A pokud jsou například vybrány náhodně podle Bernoulliho schématu , pak je velmi velké. Mezilehlé případy mezi těmito dvěma případy jsou přesně aditivně-kombinatorní zajímavé. $A,B\in \mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,+)$ $A$ $B$ $+$ $A$ $B$ $|A+B|$ ${\displaystyle A,B\in {\mathbb {Z} }_{n))$ $|A+B|$

Struktura sad je navíc zajímavá sama o sobě . Konkrétně od roku 2018 neexistují žádná obecná kritéria (kromě přímého výčtu), která by určovala, zda je daná sada zastoupena ve formě . $A+B$ $A+A$

Související charakteristiky sad

Níže uvedená tabulka uvádí teorémy a nerovnice aditivní kombinatoriky týkající se různých charakteristik podmnožin grup. Příkaz zadaný v buňce se vztahuje k charakteristikám uvedeným v jejím řádku a sloupci. Jsou uvedeny pouze některé z nejznámějších těchto teorémů.

Pro stručnost jsou v nadpisech použity následující zkratky:

Hustota množiny pro konečnou grupu je hodnota nebo zákon jejího asymptotického růstu s rostoucí velikostí a pro nekonečné je asymptotická hustota (nebo zákon rozdělení) v , $A\subset {\mathbb {G} }$ ${\mathbb {G} }$ ${\frac {|A|}{|{\mathbb {G} }|}}$ ${\mathbb {G} }$ ${\mathbb {G} }$ $A$ ${\mathbb {G} }$
GAP (z "generalizované aritmetické progrese") - přítomnost v množině velkých aritmetických progresí , netriviálních zobecněných aritmetických progresí nebo jejich velkých částí a naopak schopnost pokrýt množinu (nebo její většinu) příliš velká aritmetická progrese;
$A_{1}+\tečky +A_{k}$ - velikost a struktura množiny součtů (stejně jako rozdíly a kombinace součtů a rozdílů) - zejména schopnost reprezentovat libovolný prvek skupiny jako součet daného počtu prvků této množiny;
${\displaystyle X=A_{1}+\dots +A_{k))$ - reprezentovatelnost množiny nebo její velké části jako množiny součtů (stejně jako rozdílů a kombinací součtů a rozdílů) čísel z malého počtu množin, tedy řešitelnost rovnice množin pro a daný , možná i za určitých podmínek na (například ), kde znamená Minkowského součet ${\displaystyle X=A_{1}+\dots +A_{k))$ $X$ ${\displaystyle A_{1},\tečky ,A_{k))$ ${\displaystyle A_{1}=\tečky =A_{k))$ $+$
Fourierovy koeficienty jsou určeny pro charakteristickou funkci množiny a funkce prostřednictvím ní definované, jakož i jejich statistiky - různé druhy norem , počet prvků s velkou hodnotou a struktura jejich množiny;
CRU (od „počet řešení rovnice“) - počet řešení různých lineárních rovnic (zejména aditivní energie ) nebo soustav rovnic , ve kterých proměnné nabývají hodnot z daných množin, stejně jako poměr počtu jejich řešení

V buňkách se také používá několik specifických zápisů:

$\widehat {A}$ je Fourierův koeficient charakteristické funkce množiny ; $A$
$E(A,B)$ - aditivní energie
$\rho _{A}(x)=\mathbf {1} _{A}(x)-{\frac {|A|}{|{\mathbb {G} }|}}$ — taková funkce se nazývá balanční funkce množiny , protože . $A\in {\mathbb {G} }$ $\sum \limits _{x\in {\mathbb {G} }}{\rho _{A}(x)}=0$

	Hustota	OAP	$A_{1}+\tečky +A_{k}$	${\displaystyle X=A_{1}+\dots +A_{k))$	Fourierovy koeficienty	CRU
Hustota
OAP	Szemerediho věta
$A_{1}+\tečky +A_{k}$	Shnirelmanova nerovnost , Furstenbergova-Sharkozyho věta	Freimanův teorém
${\displaystyle X=A_{1}+\dots +A_{k))$		$A+B$ ve velkém a obsahují dlouhé a. n. [7] [8] $\|A\|$ $\|B\|$	Plünnecke-Rouge nerovnost
Fourierovy koeficienty	Princip neurčitosti [9]	Pokud je , malé, pak obsahuje a. n. délka 3 [10] ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{N))$ $\|\|{\widehat {\rho _{A}}}\|\|_{\infty }$ $A$	Když malý, tak velký $\|\|{\widehat {A}}\|\|_{\infty }$ $\|\|{\widehat {B}}\|\|_{\infty }$ $\|A+B\|$
CRU	Rothova věta	Pokud - a. p., tedy $A$ $E(A,A)\geq \Omega (\|A\|^{3})$	$\|A\|^{2}\|B\|^{2}\geq \|A+B\|E(A,B)$ [jedenáct]	Z poměrů aditivních energií můžeme vyvodit závěry o struktuře souboru [12]	Pokud , pak ${\displaystyle A,B\in {\mathbb {Z} }_{N))$ $E(A,B)=\sum \limits _{r=0}^{N-1}{\|{\widehat {A}}(r)\|^{2}\|{\widehat {B} }(r)\|^{2}}$

Některé použité pojmy

Gowersova norma je zobecněním konceptu Fourierových koeficientů, který vynalezlWilliam Gowersv průběhu dokazování Szémeredyho věty.

Freimanův izomorfismus je zobrazení z podmnožiny jedné skupiny do podmnožiny jiné, které zachovává vztah rovnosti součtů daného počtu prvků množiny.

Konečná množina reálných čísel se nazývá konvexní posloupnost (nebo konvexní množina) if for , tedy pokud je obrazem segmentu pro nějakou přísně konvexní funkci . [13] Vlastnosti takových množin jsou široce studovány v aditivní kombinatorice. [14] [15] [16] [17] Tento pojem by neměl být zaměňován s konvexní množinou v obvyklém smyslu . $A=\left\lbrace {a_{1}\leq \dots \leq a_{n}}\right\rbrace$ $a_{i+1}-a_{i}<a_{i+2}-a_{i+1}$ $i=1,\tečky ,n-2$ $A$ $\left\lbrace {1,\tečky ,n}\right\rbrace$

Bohrova množina je malá zdvojená struktura, někdy používaná v důkazech jako oslabená analogie pojmu podprostor. [18] . Je definován jako soubor prvků pole, na kterém mají všechny aditivní znaky z dané rodiny malou hodnotu. Bohrovy množiny obsahují velké zobecněné aritmetické posloupnosti, takže přítomnost posloupností v množině je někdy prokázána přítomností nezbytné Bohrovy množiny v ní.

Téměř periodická funkce je taková funkce, že normaje dostatečně malá pro některéa pro všechny, kde je nějaká množina (například Bohrova množina). Na takových množinách je konstruován jeden z důkazůRothovy věty. [19] $F$ ${\displaystyle ||f(x+t)-f(x)||_{p))$ $p$ $v T$ $T$

Množina velkých goniometrických součtů (někdy také nazývaných spektrum ) množiny je množina zbytků,pro které má součet(Fourierův koeficient) velký modul . [dvacet] ${\displaystyle A\subset {\mathbb {Z} }_{p))$ $r$ $\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ar)}$

Disociativní množina je množina, pro kterou jsou lineární kombinace rovné nule, kde, pouze kdyžjsou všechny rovné nule. Zejména to znamená, že součty prvků ze dvou různých podmnožin jsou vždy různé [20] . Disociativita může být viděna jako analogie lineární nezávislosti přes. $A$ $\sum \limits _{a\in A}{\varepsilon _{a}a}=0$ $\forall a\in A:\varepsilon _{a}\in \left\lbrace {-1,0,1}\right\rbrace$ $\varepsilon _{a}$ $\left\lbrace {-1,0,1}\right\rbrace$

Studijní metody

Elementární metody

Navzdory existenci mocných a složitých metod pro studium teorémů aditivní kombinatoriky se samozřejmě některé techniky a úkoly hodí k elementárnímu popisu. Z Cauchyho nerovnosti jsou odvozeny vlastnosti aditivní energie , které platí téměř univerzálně. Obecně elementární přístup často analyzuje počet řešení určitých rovnic. Často se také používá střední argument - například při rozkladu počtu řešení rovnice součtem počtu řešení pro konkrétní hodnotu jedné proměnné. [21] $\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i))}\right)^{2}\leq n\sum \limits _{i=1}^{ n}{{a_{i}}^{2}}$

Elementárními metodami lze dokázat Rothovu větu [22] a Cauchy-Davenportovu větu [23] .

Mnoho důkazů získaných jinými metodami však nemá žádné elementární analogie.

Kombinatorické metody

Jedním z nejikoničtějších kombinatorických důkazů aditivní kombinatoriky je první důkaz Szemeredyho věty [24] , který se objevil - v něm Szemeredy formuloval a použil tzv. lemma regularity , týkající se čisté teorie grafů . Grafové analogie se používají i při dokazování speciálních verzí Plünnecke-Rougeovy nerovnosti nebo odhadů typu Balogh-Semeredi-Gowers [25] .

Algebraické metody

Algebraické metody v aditivní kombinatorice využívají vlastnosti polynomů, které jsou stavěny na základě určitých množin. Stupně takových polynomů zpravidla závisí na velikostech studovaných množin a množina kořenů polynomů může poskytovat tu či onu informaci o součtech, průsečících atd. původních množin.

Příkladem nástroje pro aplikaci takové metody je kombinatorická nulová věta . S ním lze dokázat Cauchyho-Davenportovu větu a některá její zobecnění . [23]

Další aplikace algebraické metody lze nalézt v důkazech Rothovy věty pro určité grupy speciální formy [26] [27] [28] nebo při odhadu velikosti průniků posuvů multiplikativních podgrup polí ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ a dokazování Waringova problému pro a prvočíslo (k tomu se používá zejména Stepanovova metoda ). ). [29]

Analytické metody

Hlavním analytickým nástrojem v aditivní kombinatorice jsou Fourierovy koeficienty . Toto je kvůli úzkému spojení mezi operací brát Fourier koeficient a operací konvoluce funkcí . Fourierovy koeficienty se používají od prvního důkazu Rothovy věty. [30] Jejich zobecněním je Gowersova norma, jejíž věda se také nazývá Fourierova analýza vyššího řádu. [dvacet]

Na příkladu Fourierových koeficientů (zejména jejich aplikace na důkaz Rothovy věty) je nejlépe ilustrován tzv. iterační argument, kdy se úvaha o libovolné množině dělí na dva případy – kdy množina nemá velké (ve vztahu k velikosti množiny) Fourierovy koeficienty a kdy. V prvním případě lze přímo využít vlastnosti Fourierových koeficientů a ve druhém lze najít podstrukturu množiny s vyšší hustotou v nekonečné aritmetické posloupnosti a s tak vyšší hustotou, že počet takových možné kroky do dosažení mezní hustoty budou omezeny hodnotou závisející na celkové hustotě počáteční sady. To odhaluje myšlenku rozdělení na případ pseudonáhodné množiny a množiny s nějakou globální strukturou. Tato myšlenka se odráží i v jiných metodách. [1] [10]

Dalším analytickým přístupem je studium téměř periodicity funkcí spojených s charakteristickými funkcemi studovaných množin. [31]

Ergodické metody

Ergodický přístup zahrnuje aplikaci výsledků z teorie dynamických systémů na problémy v aditivní kombinatorice . Tento přístup poprvé aplikoval Hillel Furstenberg na Szemeredyho větu [32] , ale brzy se ukázalo, že jej lze zobecnit na mnohem širší okruh problémů.

Teorie dynamických systémů často umožňuje dokázat výsledky, které nelze přeformulovat jinými metodami, ale není schopna poskytnout žádné kvantitativní odhady (např. odhady hustoty množiny ve Szemeredyho teorému). [33]

Jiné metody

Některé další oblasti mají aplikace pro danou vědu:

Szemeredi-Trotterova věta z kombinatorické geometrie (zejména v otázkách týkajících se konvexních množin) [16] [13] [17] ;
geometrie čísel [34] ;
teorie reprezentací symetrických grup [35] .
teorie vlastních čísel ( lze použít k odvození nerovnosti mezi počtem řešení některých soustav lineárních rovnic; [36] );

Někteří badatelé

Viz také

Literatura

Grahame, Ronalde. Počátky Ramseyho teorie. - M. : Mir, 1984. - ISBN 5-09-002630-0 .

M. Z. Garajev. Součty a součiny množin a odhady racionálních goniometrických součtů v polích prvořadého řádu // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 2010. - Vydání. 4 . - S. 5-66 . (Ruština)

I. D. Shkredov. Szemerediho věta a problémy aritmetických posloupností // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 2006. - Vydání. 6 . - S. 111-179 . (Ruština)

I. D. Shkredov. Fourierova analýza v kombinatorické teorii čísel // Pokroky v matematických vědách. - 2010. - Vydání. 3 . - S. 127-184 . (Ruština)

Terence Tao , Van H. Vu. Aditivní kombinatoria . — Cambridge University Press. - 2006. - ISBN 0-511-24530-0 .

Imre Ruzsa. Součty a struktura .

Freiman, Grigorij Abelevič . Počátky strukturální teorie množin . - Tiskárna "Tatpoligraf". — 1966. (Ruština)

I. M. Gelfand , Yu.V. Linnik . Elementární metody v analytické teorii čísel. — M.: Fizmatgiz. — 1962. (Ruština)

I. M. Vinogradov . Metoda goniometrických součtů v teorii čísel. - Nakladatelství "Science". — 1971. (Ruština)

Poznámky

↑ 1 2 3 Postnauka, I. D. Shkredov, "Additivní kombinatorika" . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 18. srpna 2021. (neurčitý)
↑ Gelfand, 1962 , s. 9-43.
↑ Graham, 1984 .
↑ Vinogradov, 1971 , s. 5-6.
↑ Freiman, 1966 .
↑ Erdős, Paul & Szemerédi, Endre (1983), O součtech a součinech celých čísel , Studie z čisté matematiky. Památce Paula Turána , Basilej: Birkhäuser Verlag, s. 213–218, ISBN 978-3-7643-1288-6 , doi : 10.1007/978-3-0348-5438-2_19 Archivováno 24. května 2013 na Wayback Machine .
↑ Ernie Croot, Izabella Laba, Olof Sisask, „Aritmetické pokroky v souhrnech a L^p-téměř-periodicita“ . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ Tom Sanders, "Additivní struktury v sumsetech" . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ Terence Tao, „Princip neurčitosti pro cyklické skupiny prvořadého řádu“ . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ 1 2 http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=3055 Setkání Moskevské matematické společnosti, 1. března 2011, I. D. Shkredov, Metody aditivní kombinatoriky
↑ Garaev, 2010 , str. 25.
↑ Celoústavový seminář "Matematika a její aplikace" Matematického ústavu. V. A. Steklova RAS, 18.09.14, I. D. Shkredov, „Strukturální teorémy v aditivní kombinatorice“
↑ 1 2 A. Iosevich, S. Konyagin, M. Rudnev a V. Ten, "O kombinatorické složitosti konvexních sekvencí", 19. července 2004 . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ MZ Garaev, "O dolních hranicích pro L1-normu exponenciálních součtů", Mathematical Notes, listopad 2000, svazek 68, vydání 5-6, str. 713-720 . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ Imre Z. Ruzsa, Dmitrii Zhelezov, "Konvexní sekvence mohou mít tenké aditivní báze", předtisk . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ 1 2 Tomasz Schoen, Ilya Shkredov, "O množinách konvexních množin" . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ 1 2 Elekes, Nathanson, Ruzsa, "Konvexita a součty" (odkaz není k dispozici) . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ Ben Green, „Modely konečných polí v aditivní kombinatorice“ . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ Tom Sanders, „O Rothově větě o postupech“, předtisk . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ 1 2 3 Shkredov, 2010 .
↑ Garaev, 2010 .
↑ Graham, 1984 , s. dvacet.
↑ 1 2 Matematická laboratoř P. L. Chebyshev, přednáškový kurz "Aditivní kombinatorika", přednáška 1
↑ Szemerédi, Endre (1975), O množinách celých čísel neobsahujících žádné k prvků v aritmetickém postupu , Acta Arithmetica T. 27: 199–245, Zbl 0303.10056, MR : 0369312 , < http: //matwbn.pl.ic ksiazki/aa/aa27/aa27132.pdf > Archivováno 10. prosince 2020 na Wayback Machine .
↑ Garaev, 2010 , str. 18-25.
↑ E. Croot, V. Lev a P. P. Pach, Sady bez progrese jsou exponenciálně malé (2016). arXiv předtisk 1605.01506. ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{n}^{4))$ . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ Důkaz Rothovy věty pro grupy s malou torzí na arxiv.org . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ Prohlášení o důkazu Rothovy věty pro v ruštině ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{4}^{n))$
↑ I. V. Vyugin, I. D. Shkredov, „O aditivních posunech multiplikativních podskupin“, Mat. Sb., 2012, ročník 203, číslo 6, strany 81-100 . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 12. června 2018. (neurčitý)
↑ Shkredov, 2006 , s. 119-124.
↑ I. D. Shkredova, přehledová přednáška "Analytické metody v aditivní kombinatorice", Přednáškový sál Matematické laboratoře. Čebyšev
↑ Yufei Zhao, „Szemer'ediho teorém prostřednictvím ergodické teorie“ . Získáno 11. června 2018. Archivováno z originálu 27. února 2021. (neurčitý)
↑ Post-science, I. D. Shkredov, „Kombinatorní ergodická teorie“
↑ Imre Ruzsa, „Aditivní kombinatorika a geometrie čísel“ . Získáno 11. 6. 2018. Archivováno z originálu 11. 8. 2017. (neurčitý)
↑ JA Dias da Silva, YO Hamidoune, Cyklické prostory pro Grassmannovy derivace a aditivní teorii, Bull. Londýnská matematika. soc. 26 (1994) 140-146
↑ I. D. Shkredov, „Některé nové výsledky o vyšších energiích“ . Staženo 3. ledna 2019. Archivováno z originálu dne 3. ledna 2019. (neurčitý)