Aditivní energie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Aditivní energie je číselná charakteristika podmnožiny skupiny ilustrující strukturování souboru s ohledem na skupinovou operaci. Termín byl vytvořen Terence Tao a Wang Wu [1] .

Definice

Buďme skupinou. $(G,+)$

Aditivní energie množin a je označena jako a je rovna [2] počtu řešení následující rovnice: $A\subset G$ $B\subset G$ $E_{+}(A,B)$

a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\v A,b_{1},b_{2}\v B)

Podobně lze definovat multiplikativní energii (například v kruhu ) jako počet řešení rovnice: $E_{\times }(A,B)$

a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\v A,b_{1},b_{2}\v B)

Extrémní hodnoty

Nejmenší hodnoty dosahuje , když jsou všechny součty různé (protože pak rovnice platí pouze pro ) - například když a je množinou různých generátorů grupy z nějaké minimální generující množiny . Pak $E_{+}(A,B)$ $a+b\ (a\v A,b\v B)$ $\{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}$ $A=B$ $A$ $G$ $E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2))$

Největší hodnoty je dosaženo, když a je podskupinou . V tomto případě je pro libovolný počet řešení rovnice , takže $E_{+}(A,B)$ $A=B$ $A$ $G$ $x\v A$ $a+b=x\ (a,b\v A)$ $|A|$ ${\displaystyle E_{+}(A,A)=|A|^{3))$

Hodnoty středního řádu růstu mezi a lze tedy považovat za větší či menší ukazatel blízkosti struktury ke struktuře podskupiny. Některým grupám umožňují určitá omezení aditivní energie dokázat strukturní věty o existenci dostatečně velkých podgrup uvnitř (nebo některé z nich odvozené množiny) a o vnořitelnosti (nebo některé z ní odvozené množiny) v dostatečně malých podgrupách . [3] Omezení pro tyto věty souvisí s torzním exponentem grupy a jejích jednotlivých generátorů. Nicméně, pro cyklické a torzní-volné grupy, tam jsou podobné teorémy, které zvažují zobecněné aritmetické průběhy místo podgrup . $E_{+}(A,A)$ $|A|^{2}$ $|A|^{3}$ $A$ $G$ $G$ $A$ $A$ $G$ $G$ $G$

Základní vlastnosti

E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)

{\displaystyle E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2))

, kde [2]

A+B=\left\lbrace {a+b:a\v A,b\v B}\vpravo\rbrace

Důkaz

Označme . $\lambda (x)=\#\left\lbrace {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace$

Pak a podle Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti $E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2))$

$E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\right)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}$

Pro prsten primárního zbytku může být aditivní energie vyjádřena v podmínkách trigonometrických součtů . Označme . Pak $G={\mathbb {F} }_{p}$ $e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}$

E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{ e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}

Důkaz

Použijeme Iversonův zápis a identitu indikátoru .

E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1 }+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\součet \limits _{a_{1},a_{2}\v A,b_{1},b_{2}\v B }{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2} -b_{2))}}={\frac {1}{p}}\součet \limits _{t=0}^{p-1}{\součet \limits _{a_{1},a_{ 2 }\v A,b_{1},b_{2}\v B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2})))}}

={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p} (ta)))\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\v B}{e_{p}(tb)}}\vpravo){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\ vpravo)))={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{({\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A }{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)} }{\Bigg \vert }}^{2}}

Všimněte si, že výraz v podmínkách goniometrických součtů platí pouze pro aditivní energii, ale ne pro multiplikativní energii, protože výslovně používá vlastnosti sčítání v . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Aplikace

Aditivní a multiplikativní energie se používají v aditivní a aritmetické kombinatorice k analýze kombinatorických součtů a množinových součinů , zejména k prokázání teorému součtu o součinu . $A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace$

Elder energie

Existují dvě hlavní zobecnění rovnice, která definuje aditivní energii – počtem členů a počtem rovností:

E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\tečky =a_{k}-b_{k} \ :\ a_{i},b_{i}\v A}\vpravo\rbrace =\součet \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}

T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^ {k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\v A}\vpravo\rbrace

Říká se jim vyšší energie [4] a někdy je možné pro ně získat odhady bez získání odhadů pro obvyklou aditivní energii. [5] [6] Hölderova nerovnost zároveň umožňuje (s výrazným zhoršením) odhadnout obyčejnou energii z hlediska vyšších.

Pro parametr v , jsou někdy uvažována reálná čísla, a ne pouze celá čísla (prostě pomocí substituce do posledního výrazu). [7] $k$ $E_k$

Viz také

Věta o součtu
Changova strukturní věta

Literatura

Yu. N. Šteinikov. Odhady pro trigonometrické součty nad podskupinami a některé jejich aplikace // Matematické poznámky. - 2015. - T. 98 , č.p. 4 . - S. 606-625 . (Ruština)

I. D. Shkredov. Několik nových výsledků o vyšších energiích (anglicky) // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - Sv. 74 , iss. 1 . - str. 35-73 .

Poznámky

↑ ko.kombinatorika – Kde se vzal termín „aditivní energie“? - MathOverflow . Získáno 23. srpna 2019. Archivováno z originálu dne 23. srpna 2019. (neurčitý)
↑ 1 2 M. Z. Garaev, Součty a součiny množin a odhady racionálních goniometrických součtů v polích prvořadého řádu, Uspekhi Mat. Nauk, 2010, ročník 65, číslo 4 (394) , str. 25 (podle stránkování)
↑ Přednášky Čebyševovy laboratoře, kurz "Aditivní kombinatorika" (Fjodor Petrov), přednáška 6 , od 1:11:30
↑ Shkredov, 2013 .
↑ Shteinikov, 2015 , str. 607, věta 4.
↑ arXiv : 1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, "Silnější nerovnosti součtu produktu pro malé soubory", str. 5, důsledek 7
↑ Shkredov, 2013 , str. 59, Věta 6.3.