Asymptotická rovnost

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. února 2020; kontroly vyžadují 8 úprav .

Asymptotická rovnost (ekvivalence) v matematické analýze je vztahem ekvivalence mezi funkcemi definovanými v nějakém proraženém okolí bodu, což znamená rovnost funkcí poblíž tohoto bodu s libovolně malou relativní chybou . Asymptotické rovnosti jsou široce používány při výpočtu limit. Často se asymptoticky ekvivalentní funkce jednoduše nazývají ekvivalentní, přičemž slovo asymptoticky se vynechává. Zcela běžný je také termín ekvivalentní infinitezimální, což není nic jiného než speciální případ asymptotické ekvivalence pro infinitezimální funkce.

Motivace

O mnoha funkcích se často říká, že jsou zhruba stejné nebo se v určitém bodě chovají stejně. Tato terminologie je však příliš vágní, a pokud chceme skutečně mluvit o stejném chování funkcí, je třeba toto formálně definovat.

Definujme si následující pojem: budeme říkat, že funkce aproximuje nebo aproximuje funkci blízko bodu , pokud pro libovolně malé číslo můžeme vzít takové okolí, kde se tyto funkce nebudou lišit o více než toto číslo. V jazyce: $g(x)$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varepsilon ,\delta$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):|f(x)-g(x)|<\varepsilon

Není těžké vidět, že tato definice znamená, že limita rozdílu funkcí je rovna nule, když se blížíme k bodu . není nic jiného než absolutní chyba aproximace funkce funkcí . Při definování funkce aproximující v bodě požadujeme, aby absolutní chyba mohla být libovolně malá. V tomto případě relativní chyba nemusí být nutně malá. Jednoduchý příklad: funkce aproximuje funkci v bodě , protože mají stejnou limitu. Nicméně relativní chyba této aproximace ve všech bodech kromě . $x_{0}$ $|f(x)-g(x)|$ $f(x)$ $g(x)$ $-X$ $X$ $0$ $0$ $200\%$

Místo podmínky malosti absolutní chyby lze požadovat, aby relativní chyba byla malá. Funkce s takovou podmínkou se nazývají asymptoticky ekvivalentní [1] . Relativní chyba (pro nenulovou v nějakém proraženém okolí bodu ) funkcí a je vypočtena podle vzorce . Podmínka asymptotické ekvivalence je pak formulována takto: $f(x)$ $x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)))\right|$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|<\varepsilon

To je zjevně ekvivalentní podmínce , která je nejčastěji brána jako definice asymptotické ekvivalence. $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{f(x)))=1$

Definice

Klasická definice

Nechť a být definováno v nějakém děrovaném okolí bodu ( může to být také nekonečno, jak s určitým znaménkem, tak bez znaménka) a není rovno v nějakém děrovaném okolí. Funkce a se nazývají asymptoticky rovné, pokud: $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle x\to x_{0))$

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Základní ekvivalence

Asymptotickou rovnost lze samozřejmě považovat nejen za prostou tendenci argumentu k nějaké hodnotě. Je možné uvažovat o limitu nad jinými bázemi: když argument směřuje doprava, zleva, přes nějakou podmnožinu a obecně přes jakoukoli bázi. Proto má smysl definovat asymptotickou ekvivalenci pro jakoukoli bázi . Nechť a být definováno na nějakém prvku základny a nerovná se na některém prvku základny. Funkce a se nazývají asymptoticky rovné v základu , pokud: [2] ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$

\lim _{\mathfrak {B}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Obecný případ

Pojem asymptotické rovnosti lze zobecnit i na případ, kdy v žádném okolí není splněna podmínka nerovnosti k nule. Nechť a být definován na nějakém prvku základny . Funkce a se nazývají asymptoticky rovné v základu , pokud lze funkci reprezentovat jako , kde [3] . $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=\varepsilon (x)g(x)$ $\lim _{\mathfrak {B}}\varepsilon (x)=1$

Přes o-malé

Ekvivalentní definici asymptotické rovnosti lze poskytnout pomocí konceptu o-malé. Nechť a být definováno na nějakém prvku základny a nerovná se na některém prvku základny. Funkce a se říká, že jsou asymptoticky stejné v základu , pokud lze funkci reprezentovat jako , kde je o-small v základu . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(f(x))$ $o(f(x))$ $f(x)$ ${\mathfrak {B}}$

Přes nekonečně malé

Pro obecný případ lze výše uvedenou definici z hlediska o-malého formulovat pomocí konceptu infinitezimálního. Nechť a být definován na nějakém prvku základny . Funkce a se nazývají asymptoticky rovné v základu , pokud lze funkci reprezentovat jako , kde je infinitezimální v základu [3] . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(1)f(x)$ $o(1)$ ${\mathfrak {B}}$

Vlnovka se používá k označení asymptotické rovnosti : . $f(x)\sim g(x)$

Vztah ekvivalence

Asymptotická rovnost vzhledem k nějaké bázi v plném smyslu je relací ekvivalence na množině funkcí definovaných na nějakém prvku báze, to znamená, že je reflexivní , symetrická a tranzitivní . Proto lze množinu takových funkcí rozdělit do tříd ekvivalence.

Jakékoli dvě funkce, které mají stejnou konečnou nenulovou limitu, jsou navzájem ekvivalentní. Na druhou stranu ekvivalence funkce nějaké funkce s nenulovou konečnou limitou automaticky znamená i rovnost jejich limity. Množina funkcí se stejnou nenulovou konečnou limitou tedy tvoří třídu ekvivalence.

To u nekonečně malých, nekonečně velkých a neomezených funkcí vůbec neplatí. Právě tyto ekvivalence jsou zajímavé. Ekvivalence dvou funkcí s sebou nese rovnost jejich limit (nebo jejich neexistenci), takže můžeme uvažovat odděleně třídy ekvivalence nekonečně velkých a nekonečně malých funkcí [3] .

Příklady

Polynom at je ekvivalentní svému nenulovému členu s nejvyšším stupněm a at s nejnižším. $x\to \infty$ $x\to 0$

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\tečky +a_{1}x+a_{0}\sim a_{n}x^{n }

x\to \infty ,a_{n}\neq 0

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{m+1}x^{m+1}+a_{m}x ^{m}\sim a_{m}x^{m}

x\to 0,a_{m}\neq 0

Při výpočtu limitů mnoho učebnic často uvádí ekvivalenční tabulky pro některé elementární funkce:

Ekvivalent infinitezimálního at

x\to 0

Funkce 1	Funkce 2
$\sin x$	$X$
$\operatorname {tg}x$	$X$
$\arcsin x$	$X$
$\operatorname{arctg}x$	$X$
$1-\cos x$	${\frac {x^{2}}{2}}$
$e^{x}-1$	$X$
$\ln(1+x)$	$X$
$(1+x)^{\alpha }-1$	$\alpha x$
$\operatorname {sh} x$	$X$
$\operatorname {th} x$	$X$
$\operatorname {arsh} x$	$X$
$\operatorname {arth} x$	$X$
$\operatorname {ch} x-1$	${\frac {x^{2}}{2}}$

Poměrně známý je Stirlingův vzorec , který aproximuje faktoriál spojitou funkcí:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

n\to\infty

Asymptotika je užitečná při odhadu kombinatorických veličin s dostatečně velkými parametry. Například nahrazením Stirlingova vzorce do explicitního vzorce pro výpočet binomického koeficientu lze získat, že:

{\binom {2n}{n}}\sim {\sqrt {\frac {1}{\pi n}}}2^{2n}

n\to\infty

Počet prvočísel menší než nějaké dané číslo má také jednoduchou asymptotickou aproximaci :

{\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln {n))))

v ,

n\to\infty

kde je počet prvočísel menší než $\kolík)$ $n$

Vlastnosti

Relativní chyba má tendenci k nule. Pokud pro základ , pak relativní chyba pro tento základ má tendenci k nule. Tato vlastnost vede obecně k definici asymptotické rovnosti. Všimněte si, že absolutní chyba nemusí mít sklon k nule. Příklad: at , ale jejich absolutní chyba je konstantní a rovna . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x\sim x+1$ $x\to \infty$ $jeden$
Náhrada za ekvivalent v limitu. Pokud v základu , pak v tom smyslu, že limity jsou buď stejné, nebo obě neexistují. $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $\lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\lim _{\mathfrak {B}}g(x)$

Tato vlastnost umožňuje nahradit výraz pod znaménkem limitu ekvivalentním. Právě na něm je založena technika výpočtu limit pomocí ekvivalencí.

Algebraické operace s ekvivalencemi. Nechte dále , , přes základnu . Pak $f(x)\sim f_{1}(x)$ $g(x)\sim g_{1}(x)$ $m\in \mathbb {N}$ ${\mathfrak {B}}$

f(x)g(x)\sim f_{1}(x)g_{1}(x)

podle základny .

{\mathfrak {B}}

{\frac {f(x)}{g(x)}}\sim {\frac {f_{1}(x)}{g_{1}(x)))

podle základny .

{\mathfrak {B}}

{\displaystyle (f(x))^{m}\sim (f_{1}(x))^{m))

podle základny .

{\mathfrak {B}}

Všechny rovnosti zde ve smyslu limitů jsou buď stejné, nebo obojí neexistuje. Poslední vlastnost lze zobecnit na případ zlomkového stupně, ale protože záporná čísla nelze umocnit na neceločíselnou mocninu, je nutné nejprve zkontrolovat, zda budou výsledné funkce definovány na nějakém prvku báze. Pro aritmetické kořeny lichého stupně lze vlastnost použít bez dalších kontrol.

Tyto vlastnosti se v praxi hojně využívají k výpočtu limity. Příklad:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x(e^{x}-1)}{(\ln(x+1))^{2}\cdot e^{x- 1}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{x^{2}\cdot e^{-1}}}=e

Všimněte si, že pro součet neexistuje žádná analogická vlastnost: součet ekvivalentů nemusí být ekvivalentní součtu.

Zastoupení prostřednictvím o-small. $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(f(x))=g(x)+f(x)o(1)$

Protože se jedná o alternativní definici ekvivalence, lze ji použít i obráceně. Například: v , protože . To nám umožňuje zbavit se malých členů v ekvivalencích. Příklad:

x+\ln x\sim x

x\to +\infty

\ln x=o(x)

\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x^{1}0-lnx)=\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\ infty

Tato vlastnost forward se často používá v kombinaci s následujícími:

o-small je o-small ekvivalentu. $f(x)\sim g(x)\šipka doprava o(f(x))=o(g(x))$

Navzdory skutečnosti, že součet nelze nahradit ekvivalentními, můžete použít poslední dvě vlastnosti:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x+\ln(x+1)}{e^{x}-1+\operatorname {arctg} {x}}}=\lim _ {x\to 0}{\frac {x+o(\sin x)+x+o(\ln(x+1))}{x+o(e^{x}-1)+o(\jméno operátora {arctg} {x})}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+o(x)}{2x+o(x)}}=\lim _{x\to 0}{ \dfrac {2x+o(1)x}{2x+o(1)x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2+o(1)}{2+o(1)} }={\frac {2}{2}}=1

Pokud jsou funkce ekvivalentní s ohledem na nějakou bázi, pak jsou ekvivalentní s ohledem na jakoukoli silnější bázi . Příklad: for , což znamená, že jsou ekvivalentní pro . $\sin x\sim x$ $x\to 0$ $x\to 0+$

Věta o ekvivalenci komplexních funkcí má stejně jako věta o limitě komplexní funkce komplikovanou formulaci. Formulujeme 3 verze této věty:

Ekvivalence komplexních funkcí.
- Pro nepřetržité funkce. Nechť pro , a být spojitý v bodě , . Potom na základně . $f(x)\sim g(x)$ ${\displaystyle x\to x_{0))$ $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Verze věty pro spojité funkce však pokrývá většinu příkladů, se kterými se v praxi setkáváme. Například: v . Nespojité funkce vyžadují další podmínku.

\sin {\dfrac {1}{x}}\sim {\dfrac {1}{x}}

x\to \infty

Pro nespojité funkce. Nechť pro , , na nějakém prvku základny, nikde nemá hodnotu . Potom na základně . $f(x)\sim g(x)$ ${\displaystyle x\to x_{0))$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $h(x)$ $x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Obě tyto vlastnosti jsou důsledkem obecné věty pro limity na libovolné bázi.

Pro libovolnou základnu. Nechť , je definováno na nějakém základním prvku a pro jakýkoli základní prvek existuje základní prvek takový, že . Potom na základně . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {D}}$ $h(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $d$ ${\mathfrak {D}}$ $b$ ${\mathfrak {B}}$ $h(b)\subseteq d$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Nechte a buďte pozitivní na některém prvku základny. pokud a jen tehdy . $f(x)$ $g(x)$ $f(x)\sim g(x)$ $\ln {f(x)}=\ln {g(x)}+o(1)$
Pokud , a , pak . $f(x)\sim g(x)$ $c=\operatorname {const} {}$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{f(x)))$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{g(x)))$
Sériová ekvivalence . Podle Stolzovy věty pro dvě nekonečné řady:

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{a_{n))

a ,

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

if a řádek:

\forall n:\ b_{n}>0

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

se liší, z toho vyplývá, že:

a_{n}\sim b_{n}

\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}}\sim \sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}}

Objednávka

Významově podobná asymptotické rovnosti, ale méně přísná, je přítomnost stejného pořadí funkcí . Říká se, že funkce a mají stejné pořadí, pokud . V tomto případě se používá zápis nebo . Pokud jsou tyto funkce nekonečně malé, řád se obvykle nazývá řád malosti, a pokud nekonečně velký, pak řád růstu. $f(x)$ $g(x)$ $\exists a,A:\ \exists X:\ \forall x>X:ag(x)\leqslant f(x)\leqslant Ag(x)$ $f(x)=\Theta (g(x))$ $f(x)\in \Theta (g(x))$

Přitom existence konstanty takové, že . Jako příklad stačí uvést, že , protože , však neexistuje taková konstanta , která by . $C$ $cf(x)\sim g(x)$ $x(1+|\sin {x}|)=\Theta (x)$ $x\leqslant x(1+|\sin {x}|)\leqslant 2x$ $C$ $x(1+|\sin {x}|)\sim cx$

Poznámky

↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 264.
↑ Arkhipov, 2004 , str. 73.
↑ 1 2 3 encyklopedie matematiky .

Literatura

Kudryavtsev L. D. Kurz matematické analýzy. Ve 3 svazcích. Svazek 1 . - M .: Drop, 2003. - 704 s. (Ruština)
Arkhipov, G. I. Přednášky o matematické analýze: učebnice. pro univerzity / G. I. Arkhipov , V. A. Sadovničij , V. N. Čubarikov ; vyd. V. A. Sadovnichy. - 5. vydání, Rev. - M. : Drofa, 2004. - 640 s. — (Klasická vysokoškolská učebnice). — ISBN 5-7107-8900-3 .
Asymptotická rovnost . Encyklopedie matematiky . (neurčitý)