Lagrangeova věta o součtu čtyř čtverců

To tvrdí Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích

nějaké přirozené číslo může být reprezentováno jako součet čtyř čtverců celých čísel .

Důkaz věty poskytuje algoritmus, který vám umožní najít takovou reprezentaci čísla pomocí aritmetických operací [1] , kde — " o " je velké . $N$ $O(N^{2}\log _{2}{N})$ $Ó$

Jiná verze důkazu je založena na použití algebraických vlastností kvaternionů [2] .

Věta je řešením Waringova problému pro stupeň . Protože čísla tvaru kde nejsou reprezentována součtem tří čtverců podle Legendreovy věty o třech čtvercích [3] , udává Lagrangeova věta jednu ze dvou známých hodnot Hardyho funkce . $n=2$ $4^{m}(8n+7),$ ${\overline {m,n}}={\overline {0,1,2,\;\ldots )),$ $G(2)=4$

Příklady

${\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2};\\31&=5^{2}+2^{2} +1^{2}+1^{2};\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2};\\9&=3^{2} +0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}$

Historie

Výrok teorému se poprvé objevil v Diophantově aritmetice , kterou do latiny přeložil Basche v roce 1621 . Důležité lemma pro větu , že součin součtů čtyř čtverců je součtem čtyř čtverců, dokázal Euler , který měl blízko k důkazu samotné Lagrangeovy věty [3] a osobně pro Lagrange udělal hodně . Nicméně, Lagrange byl před Euler a dokázal teorém v 1770 .

Poznámky

↑ Tikhomirov V. M. Kapitola 4. Lagrange a jeho věta o čtyřech čtvercích // Velcí matematici minulosti a jejich velké teorémy . — 2. vyd., opraveno. - MTSNMO , 2003. - T. 1. - 16 s. - ( Knihovna "Matematická výchova" ). — ISBN 5-94057-110-7 . Archivováno 8. července 2011 na Wayback Machine
↑ Drozd Yu. A. Věta o čtyřech čtvercích // Matematika dnes / Ed. A. Ya, Dorogovtsev . - K .: Vishcha shkola, 1982. - S. 88-93.
↑ 1 2 Moderní problémy matematiky: Recenzované vydání Steklova Matematického ústavu Ruské akademie věd. - 2008. - Vydání č. 11. - S. 22.

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)