Plné náměstí

Dokonalý čtverec , také přesný čtverec nebo čtvercové číslo , je číslo, které je druhou mocninou nějakého celého čísla . Jinými slovy, druhá mocnina je celé číslo, jehož druhá odmocnina je extrahována úplně. Geometricky může být takové číslo reprezentováno jako plocha čtverce se stranou celého čísla.

Například 9 je čtvercové číslo, protože může být zapsáno jako 3 × 3 a také představuje plochu čtverce o straně 3.

Čtvercové číslo je zařazeno do kategorie klasických obrazných čísel .

Příklady

Posloupnost čtverců začíná takto:

0 , 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256 , 5 , 256 , 289 , 4 4 4 3 1 4 _ _ _ 676 , 729 , 784 , , 900 , 961841 A000290 v OEIS ) Tabulka čtverců

	_0	_jeden	_2	_3	_čtyři	_5	_6	_7	_osm	_9
0_	0	jeden	čtyři	9	16	25	36	49	64	81
jeden_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
čtyři_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
osm_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Pohledy a vlastnosti

Druhá mocnina přirozeného čísla může být reprezentována jako součet prvních lichých čísel : $n$ $n$

jeden:

1=1

4=1+3

...
7:

49=1+3+5+7+9+11+13

...

Další způsob, jak znázornit druhou mocninu přirozeného čísla: Příklad:
$n^{2}=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n$

jeden:

1=1

4=1+1+2

...
čtyři:

16=1+1+2+2+3+3+4

...

Součet druhých mocnin prvních přirozených čísel se vypočítá podle vzorce [1] : $n$

\sum _{{k=1}}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\ frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Závěr

Metoda 1, metoda lití:

Uvažujme součet krychlí přirozených čísel od 1 do :

n+1

\sum _{{k=1}}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)^ {3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{{k=0}}^{n} k^{3}+\součet _{{k=0}}^{n}3k^{2}+\součet _{{k=0}}^{n}3k+\součet _{{k=0} }^{n}1=\součet _{{k=0}}^{n}k^{3}+3\součet _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\ součet _{{k=0}}^{n}k+\součet _{{k=0}}^{n}1

Dostaneme:

(n+1)^{3}=3\součet _{k=0}^{n}k^{2}+3\součet _{k=0}^{n}k+\součet _{ k=0}^{n}1=3\součet _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1 )

Vynásobte 2 a uspořádejte:

6\součet _{{k=0}}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1 )(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

(Ve zdůvodnění byl použit vzorec: , jehož odvození je podobné uvedenému)

\sum _{{k=0}}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}

Metoda 2, metoda neznámých koeficientů:

Všimněte si, že součet mocninných funkcí lze vyjádřit jako mocninnou funkci. Na základě této skutečnosti předpokládejme:

N

N+1

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D

f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14

Získáme soustavu lineárních rovnic s ohledem na požadované koeficienty:

{\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\ \end{cases}}

Když to vyřešíme, dostaneme

A={\frac {1}{3)),B={\frac {1}{2)),C={\frac {1}{6)),D=0

Takto:

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2} }n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Řada inverzních čtverců konverguje [2] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\tečky +{\frac {1}{n^{2}}}+\tečky ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Čtyři odlišné čtverce nemohou tvořit aritmetický průběh . [3] Existují aritmetické posloupnosti tří čtverců - například: 1 , 25 , 49 .

Každé přirozené číslo lze reprezentovat jako součet čtyř čtverců ( Lagrangeova věta o součtu čtyř čtverců ).

4900 je jediné číslo > 1, které je zároveň čtvercové i pyramidové.

Součty dvojic po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel jsou čísla čtvercová.

V desítkovém zápisu mají čtvercová čísla následující vlastnosti:

Poslední číslice čtverce v desítkovém zápisu může být 0, 1, 4, 5, 6 nebo 9 ( kvadratické zbytky modulo 10).
Čtverec nemůže končit lichým počtem nul.
Čtverec je buď dělitelný 4, nebo když je dělený 8, dává zbytek 1. Čtverec je dělitelný buď 9, nebo když je dělený 3, dává zbytek 1.
Poslední dvě číslice čtverce v desítkovém zápisu mohou být 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 nebo 96 (kvadratické zbytky modulo 100). Závislost předposlední číslice čtverce na poslední lze znázornit ve formě následující tabulky:

poslední číslice	předposlední číslice
0	0
5	2
1, 4, 9	dokonce
6	zvláštní

Geometrické znázornění

jeden

čtyři

9

16

25

Viz také

Poznámky

↑ Nějaká konečná číselná řada . Math24.ru _ Získáno 14. června 2019. Archivováno z originálu 14. června 2019. (neurčitý)
↑ Kokhas K. P. Součet inverzních čtverců // Matematické vzdělání. - 2004. - Vydání. 8 . — S. 142–163 .
↑ K. Brown. Žádné čtyři čtverce v aritmetickém postupu

Literatura

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Za stránkami učebnice matematiky: Aritmetika. Algebra. Geometrie . - M . : Vzdělávání, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Deza E., Deza M. Kudrnatá čísla. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Odkazy

Curly Numbers Archived 23. listopadu 2018 na Wayback Machine
Figurate Numbers Archived 10. června 2019 na Wayback Machine na webu MathWorld

složená čísla

byt

Klasický polygonální	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Dvanáctiúhelníkový
Na střed	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Devítiúhlý Dekagonální

Pyramidový	čtyřstěnný Čtvercový pyramidální
mnohostranný	krychlový Oktaedrální Dodekaedrální dvacetistěnný Hvězdicovitý oktaedrický

mnohostranný	Pentatopický Bisquare