Oblast postavy

Plocha ploché figury je aditivní číselná charakteristika figury , která patří zcela do jedné roviny . V nejjednodušším případě, kdy lze obrázek rozdělit na konečnou množinu jednotkových čtverců , je plocha rovna počtu čtverců.

O definici

Formální představení pojmu plocha a objem naleznete v článku Jordánská míra , zde uvádíme pouze nástin definice s komentářem.

Plocha je reálná funkce definovaná na určité třídě obrazců v euklidovské rovině a splňující čtyři podmínky:

Pozitivní - oblast je nezáporná;
Normalizace - čtverec se stranou jednoty má plochu 1;
Kongruence - shodné obrazce mají stejnou plochu;
Aditivita - plocha spojení dvou obrazců bez společných vnitřních bodů se rovná součtu ploch.

V tomto případě musí být určitá třída uzavřena s ohledem na průnik a sjednocení, stejně jako s ohledem na pohyby rovin, a musí zahrnovat všechny polygony . Z těchto axiomů vyplývá monotónnost oblasti, tj.

Pokud jedna postava patří jiné postavě, pak plocha první nepřesahuje plochu druhé:

Nejčastěji se za „určitou třídu“ považuje sada kvadratických figurek . O obrázku se říká , že je kvadratický , pokud pro nějaký existuje pár mnohoúhelníků a , takový, že a , kde označuje oblast . $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $Q$ $P\podmnožina F\podmnožina Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $P$

Příklady kvadraturních obrazců

mnohoúhelníky;
jakýkoli obrazec ohraničený rektifikovatelnou křivkou , zejména kruhem;
postava ohraničená sněhovou vločkou Koch , i když její hranice není rektifikovatelná.

Související definice

Dvě postavy se nazývají stejné , pokud mají stejnou plochu.

Komentáře

Existuje matematicky přesný, ale nejednoznačný způsob, jak určit plochu pro všechny ohraničené podmnožiny roviny. To znamená, že na množině všech ohraničených podmnožin roviny existují různé plošné funkce, které splňují výše uvedené axiomy, a množina čtvercových obrazců je maximální sadou obrazců, na kterých je plocha jednoznačně určena.
- Stejný může být dělán pro délku na přímce, ale ne pro hlasitost v euklidovském prostoru , a také ne pro oblast na jednotkové kouli v euklidovském prostoru (viz, příslušně , koule zdvojnásobit paradox a Hausdorffův paradox ).

Vzorce

Postava	Vzorec	Komentář
pravoúhlý trojuhelník	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}$	$A$ je délka strany trojúhelníku.
Trojúhelník	${\sqrt {p{\cdot }(pa){\cdot }(pb){\cdot }(pc)))$	Heronova formule . je semiperimetr , , a jsou délky stran trojúhelníku. $p$ $A$ $b$ $C$
Trojúhelník	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$A$ a jsou dvě strany trojúhelníku a je úhel mezi nimi. $b$ $\gamma$
Trojúhelník	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$ a - strana trojúhelníku a výška nakreslená na tuto stranu. $h$
Náměstí	$a^2$	$A$ je délka strany čtverce.
Obdélník	$a{\cdot }b$	$A$ a jsou délky stran obdélníku. $b$
Kosočtverec	$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$A$ - strana kosočtverce, - vnitřní úhel, - úhlopříčky . $\alpha$ $b,c$
Rovnoběžník	$b{\cdot }h$	$b$ - délka jedné ze stran rovnoběžníku a - výška nakreslená k této straně. $h$
Trapéz	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$A$ a jsou délky rovnoběžných stran a je vzdálenost mezi nimi (výška). $b$ $h$
Čtyřúhelník	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$n$ a jsou délky úhlopříček a je úhel mezi nimi. $m$ $\phi$
Pravidelný šestiúhelník	${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$A$ je délka strany šestiúhelníku.
Pravidelný osmiúhelník	$2{\cdot }(1+{\sqrt {2))){\cdot }a^{2}$	$A$ je délka strany osmiúhelníku.
pravidelný mnohoúhelník	${\frac {n{\cdot }a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)))$	$A$ je délka strany mnohoúhelníku a je to počet stran mnohoúhelníku. $n$
pravidelný mnohoúhelník	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$A$ je apotém (nebo poloměr kružnice vepsané do mnohoúhelníku) a je obvodem mnohoúhelníku. $p$
Libovolný polygon	${1 \over 2}\left\|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i} &y_{i+1}\end{pmatrix}}\right\|$	Vzorec pro Gaussovu oblast . jsou souřadnice vrcholů -gon, $(x_{i},y_{i})$ $n$ $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})$
Kruh	${\displaystyle \pi {\cdot }r^{2))$ nebo ${\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}$	$r$ je poloměr kruhu a je jeho průměr. $d$
kruhový sektor	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$ a jsou poloměr a úhel sektoru (v radiánech ). $\theta$
Elipsa	$\pi {\cdot }a{\cdot }b$	$A$ a jsou hlavní a vedlejší poloosy elipsy. $b$

Viz také

Zmizení buněk
Borel míra
Jordánská míra
Lebesgueovo opatření
Orientovaná oblast
Náměstí
Plocha povrchu
Bolyai-Gerwinova věta o ekvikonstituenci polygonů o stejné ploše
Trojúhelník o plochách trojúhelníků
Čtyřúhelník o plochách čtyřúhelníků

Literatura

V. Boltyansky , O pojmech plochy a objemu. Archivováno 5. května 2017 na Wayback Machine Kvant , č. 5, 1977
B. P. Heidman , Oblasti polygonů Archivováno 10. června 2017 na Wayback Machine , Mathematical Education Library , vydání 16, (2002).
§§ 244-276 v A. P. Kiselev, Geometrie podle Kiseleva , arΧiv : 1806.06942 [matematický HO].
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Délka, plocha, objem. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
V. A. Rokhlin , Area and Volume Archived 11. April 2021 at Wayback Machine , Encyclopedia of Elementary Mathematics, Book 5, Geometry, edited by P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich and A. Ya. Khinchin.