Složená čísla

Figurovaná čísla jsou čísla, která lze znázornit pomocí geometrických tvarů. Tento historický koncept sahá až k Pythagorejcům , kteří vyvinuli algebru na geometrickém základě a reprezentovali jakékoli kladné celé číslo jako množinu bodů v rovině [1] . Výrazy „čtverec čísla“ nebo „krychle“ [2] zůstaly ozvěnou tohoto přístupu .

Tradičně existují dvě hlavní třídy složených čísel [3] :

Plochá polygonální čísla jsou čísla spojená s konkrétním mnohoúhelníkem. Dělí se na klasické a centrované .
Prostorová mnohostěnná čísla jsou čísla spojená s určitým mnohostěnem .

Každá třída obrazových čísel je zase rozdělena do odrůd , z nichž každá je spojena s konkrétní geometrickou postavou: trojúhelník, čtverec, čtyřstěn atd.

Existují také zobecnění složených čísel do vícerozměrných prostorů . V dávných dobách, kdy aritmetika nebyla oddělena od geometrie, se uvažovalo o několika dalších typech obrazných čísel, které se v současnosti nepoužívají .

V teorii čísel a kombinatorice jsou obrazná čísla spojována s mnoha dalšími třídami celých čísel - binomické koeficienty , dokonalá čísla , Mersennova čísla , Fermatova čísla , Fibonacciho čísla , Lucasova čísla a další [4] .

Klasická polygonální čísla

Pro stručnost jsou v této části klasická polygonální čísla jednoduše označována jako "polygonální čísla".

Geometrické definice

Polygonální čísla jsou posloupností udávající počet bodů, sestavenou podle pravidel, která si ukážeme na příkladu sedmiúhelníku. Řada sedmiúhelníkových čísel začíná 1 (základní bod), pak přichází 7, protože 7 bodů tvoří pravidelný sedmiúhelník , 6 bodů se přičítá. Třetí číslo odpovídá sedmiúhelníku, jehož strany již neobsahují dva, ale tři body a všechny body postavené v předchozích krocích jsou také brány v úvahu. Z obrázku je vidět, že třetí obrázek obsahuje 18 bodů, nárůst (Pythagoras to nazval " gnómon ") byl 11 bodů. Je snadné vidět, že sčítání tvoří aritmetickou progresi , ve které je každý člen o 5 více než ten předchozí [5] .

Přejdeme-li k obecnému -gon, můžeme dojít k závěru, že v každém kroku se počet bodů odpovídajících obrazovému číslu zvyšuje jako součet aritmetické posloupnosti [5] s prvním členem 1 a rozdílem $k$ $k-2.$

Algebraická definice

Obecná definice k -čísla uhlí pro libovolné vyplývá z výše uvedené geometrické konstrukce. Lze to formulovat následovně [6] : $k \geqslant 3$

$n$ Číslo k - uhlí t. řádu je součtem prvních členů aritmetické posloupnosti , ve které se první člen rovná 1 a rozdíl je roven ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $k-2.$

Například trojúhelníková čísla se získají jako částečné součty řady a čtyřúhelníková (čtvercová) čísla odpovídají řadě $1+2+3+4\tečky$ $1+3+5+7\tečky$

Posloupnost k -gonálních čísel má tvar [7] :

1,\;k,\;3k-3,\;6k-8,\;10k-15,\;15k-24,\;21k-35,\;28k-48,\;36k-63 ,\;45k-80\teček

Obecný vzorec pro explicitní výpočet tého řádu čísla k -uhlí lze získat jeho reprezentací jako součet aritmetické posloupnosti [8] : $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2))={\frac {(k-2)n^{2} -(k-4)n}{2}}={\frac {1}{2}}k(n^{2}-n)-n^{2}+2n}

(OKF)

V některých zdrojích posloupnost složených čísel začíná od nuly (například v A000217 ):

0,\;1,\;k,\;3k-3,\tečky

V tomto případě je v obecném vzorci pro to povoleno .V tomto článku jsou obrazová čísla číslována od jedné a rozšířená řada je speciálně specifikována. ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n=0.$

Existuje také rekurzivní vzorec pro výpočet polygonálního čísla [8] :

P_{n}^{(k)}={\begin{cases}1,&n=1\\P_{n-1}^{(k)}+(k-2)(n-1) +1,&n>1\end{cases}}

S nárůstem počtu stran o jednu se odpovídající obrazná čísla mění podle Nicomachova vzorce [9] : $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}=P_{n}^{(k)}+P_{n-1}^{(3)))

, kde .

n>1

(Nicomachus)

Protože to závisí lineárně na vzorci, platí: ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k,$

{\displaystyle P_{n}^{(k+s)}+P_{n}^{(ks)}=2P_{n}^{(k)))

, kde .

s=0,1,2\tečky k-3

Jinými slovy, každé polygonální číslo je aritmetickým průměrem polygonálních čísel stejně vzdálených od něj se stejným číslem. $k$

Jestliže je prvočíslo , pak druhé uhelné číslo rovné , je také prvočíslo; toto je jediná situace, kdy je polygonální číslo prvočíslo, čehož lze dosáhnout napsáním obecného vzorce v následujícím tvaru: $k$ $k$ $k$

{\textstyle P_{n}^{(k)}={\frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}n}

Důkaz: nechť Pokud je sudé, pak je složené číslo dělitelné , a pokud je liché, pak je dělitelné . V obou případech se obrazné číslo ukazuje jako složené [10] . $n>2.$ $n$ ${\textstyle {\frac {n}{2))}$ ${\textstyle {\frac {2+(n-1)(k-2)}{2))}$

Řada inverzních polygonálních čísel

{\frac {1}{P_{1}^{(k)}}}+{\frac {1}{P_{2}^{(k)))}+{\frac {1}{ P_{3}^{(k)}}}+\tečky +{\frac {1}{P_{n}^{(k)))}+\tečky

konvergovat. Jejich součet lze reprezentovat jako kde je Euler-Mascheroniho konstanta , je funkce digamma [11] . $S$ ${\textstyle S=-{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right),}$ $\gamma$ $\psi(x)$

Historický nástin

Figurovaná čísla podle Pythagorejců hrají důležitou roli ve struktuře vesmíru. Proto se jejich studiem zabývalo mnoho prominentních starověkých matematiků: Eratosthenes , Hypsicles , Diophantus Alexandrijský , Theon ze Smyrny a další. Hypsicles (2. století př. n. l.) dal obecnou definici -uhelného čísla jako součet členů aritmetické posloupnosti , ve kterém první člen je , a rozdíl je . Diophantus napsal velkou studii „O polygonálních číslech“ (3. století n. l.), jejíž fragmenty se dochovaly dodnes. Definice Hypsicles je uvedena v knize Diophantus v následující podobě [12] [13] : $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $jeden$ $k-2$

Vezmeme-li některá čísla počínaje jedničkou, která mají stejné rozdíly, pak jejich součet, pokud je rozdíl jedna, bude trojúhelník, pokud dva, pak čtyřúhelník, a pokud tři, bude pětiúhelník. Počet rohů je určen rozdílem zvýšeným o dva a strana je určena počtem odebraných čísel, počítání a jedna.

O figurovaných číslech se hodně mluví v pythagorejských učebnicích aritmetiky, které vytvořili Nicomachus z Gerazu a Theon ze Smyrny (II. století), kteří vytvořili řadu závislostí mezi figurovanými čísly různých dimenzí. Velký zájem o obrazná čísla projevili indičtí matematici a první matematici středověké Evropy ( Fibonacci , Pacioli , Cardano aj.) [14] [4] .

V moderní době se polygonálními čísly zabývali Fermat , Wallis , Euler , Lagrange , Gauss a další . V září 1636 [15] Fermat formuloval v dopise Mersennovi větu, která se dnes nazývá Fermatova věta o polygonálních číslech [14] :

Byl jsem první, kdo objevil velmi krásnou a docela obecnou větu, že každé číslo je buď trojúhelníkové, nebo součet dvou nebo tří trojúhelníkových čísel; každé číslo je buď čtverec, nebo součet dvou, tří nebo čtyř čtverců; nebo pětiúhelníkový, nebo je součtem dvou, tří, čtyř nebo pěti pětiúhelníkových čísel a tak dále ad infinitum, ať už jde o šestiúhelníková, sedmiúhelníková nebo jakákoli polygonální čísla. Nemohu zde podat důkaz, který by závisel na mnoha a spletitých záhadách čísel, protože mám v úmyslu věnovat tomuto tématu celou knihu a dosáhnout v této části aritmetiky úžasných pokroků nad dříve známými limity.

Navzdory svému slibu Fermat nikdy nezveřejnil důkaz této věty, kterou v dopise Pascalovi (1654) označil za svůj hlavní úspěch v matematice [15] . Mnoho vynikajících matematiků se zabývalo problémem - v roce 1770 Lagrange dokázal větu pro čtvercová čísla ( Lagrangeova věta o součtu čtyř čtverců ), v roce 1796 Gauss podal důkaz pro čísla trojúhelníková. Úplný důkaz teorému podal Cauchy v roce 1813 [16] [17] .

Odrůdy klasických polygonálních čísel

Trojúhelníková čísla

Trojúhelníková číselná řada :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …, … (sekvence v A000217 )

{\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

Vlastnosti [18] :

Parita prvku sekvence se mění s periodou 4: lichá, lichá, sudá, sudá. Žádné trojúhelníkové číslo nemůže (v desítkovém zápisu) končit čísly 2, 4, 7, 9 [19] .

Pro stručnost označíme t. trojúhelníkové číslo: Pak platí rekurzivní vzorce: $n$ ${\textstyle T_{n}=P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)}{2)).}$

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

;

T_{2n+1}=3T_{n}+T_{n+1}

Bacher de Meziriacův vzorec : Obecný vzorec pro mnohoúhelníkové číslo lze transformovat tak, aby ukazoval vyjádření libovolného mnohoúhelníkového čísla pomocí trojúhelníkových:

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-2)T_{n-1}+n= (k-3)T_{n-1}+T_{n}}

(basche)

Součet dvou po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel dává plný čtverec ( čtvercové číslo ):

{\displaystyle T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}=P_{n+1}^{(4)))

Fermatova věta o polygonálních číslech znamená, že jakékoli přirozené číslo může být reprezentováno jako součet nejvýše tří trojúhelníkových čísel.

Součet konečné řady trojúhelníkových čísel se vypočítá podle vzorce:

S_{m-1}=1+3+6+\tečky +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

Řada reciprokých trojúhelníkových čísel ( teleskopická řada ) konverguje [20] :

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\tečky =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Zdvojená trojúhelníková čísla dávají sekvenci (definovanou níže ) obdélníkových čísel .

Přirozené číslo je trojúhelníkové právě tehdy, když je číslo čtvercové [ [21] . $N$ $8N+1$

V mystice známé „ číslo šelmy “ (666) je 36. trojúhelník. Je to nejmenší trojúhelníkové číslo, které lze vyjádřit jako součet druhých mocnin trojúhelníkových čísel [22] : . $666=15^{2}+21^{2}$

Trojúhelníková čísla tvoří třetí diagonální čáru Pascalova trojúhelníku .

Čtvercová čísla


$0+\color {blue}1\color {black}=1$	$1+\color {blue}3\color {black}=4$	$4+\color {blue}5\color {black}=9$	$9+\color {blue}7\color {black}=16$

Čtvercová čísla jsou součinem dvou stejných přirozených čísel, to znamená, že jsou to dokonalé čtverce:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 …, … (sekvence OE v A0 ).

n^{2}

Každé čtvercové číslo, kromě jednoho, je součtem dvou po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel [23] :

{\displaystyle n^{2}=T_{n-1}+T_{n))

. Příklady: atd.

4=1+3;\quad 9=3+6;\quad 16=6+10

Součet čtvercového čísla, kterému předchází trojúhelníkové číslo, dává pětiúhelníkové číslo :

{\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Tuto větu poprvé publikoval Nicomachus („ Úvod do aritmetiky “, II. století) [24] .

Součet druhých mocnin prvních přirozených čísel se vypočítá podle vzorce [25] : $n$

{\textstyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6} }}

Řada inverzních čtvercových čísel konverguje [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\tečky +{\frac {1}{n^{2}}}+\tečky ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Každé přirozené číslo lze reprezentovat jako součet nejvýše čtyř čtverců ( Lagrangeova věta o součtu čtyř čtverců ).

Brahmagupta-Fibonacci identita : Součin součtu dvou čtvercových čísel a jakéhokoli jiného součtu dvou čtvercových čísel je sám reprezentovatelný jako součet dvou čtvercových čísel.

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}= (ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.

Vzhledem k tomu, že druhý člen vpravo se může rovnat nule, měli bychom zde uvažovat rozšířenou řadu čtvercových čísel začínající nikoli od 1, ale od nuly (viz A000290 ).

Příklad:

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^ {2}

. Pětiúhelníková čísla

Posloupnost pětiúhelníkových čísel vypadá takto:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590…, … ( sekvence OE26 )

{\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}

Pětiúhelníková čísla úzce souvisí s trojúhelníkovými [24] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}

Jak bylo uvedeno výše, pětiúhelníkové číslo, počínaje druhým číslem, může být reprezentováno jako součet čtvercového a trojúhelníkového čísla:

{\displaystyle P_{n}^{(5)}=n^{2}+T_{n-1))

Pokud ve vzorci zadáte obecnější sekvenci : ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ $n$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\tečky

pak dostaneme zobecněná pětiúhelníková čísla :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155… ( sekvence OEIS A001318 ).

Leonhard Euler objevil zobecněná pětiúhelníková čísla v následující identitě :

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots

Mocniny na pravé straně identity tvoří posloupnost zobecněných pětiúhelníkových čísel [27] . $X$

Hexagonální čísla 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780…, … 4 ( sekvence OE83 ).

2n^{2}-n

Posloupnost hexagonálních čísel získáme z posloupnosti trojúhelníkových čísel škrtnutím prvků se sudými čísly [28] : . ${\displaystyle P_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(3)))$

Přirozené číslo je hexagonální právě tehdy, když je přirozené . $N$ ${\textstyle {\frac {{\sqrt {8N+1}}+1}{4}}}$

Sedmiúhelníková čísla Osmihranná čísla Dvanáctiúhelníková čísla

Dvanáctiúhelníková čísla se počítají podle vzorce : $5n^{2}-4n$

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 191624… 1EIS sekvence ( 1E ).

V desítkové soustavě končí -té dvanáctiúhelníkové číslo stejnou číslicí jako samotné číslo . Vyplývá to ze zřejmého srovnání : odkud dostáváme: ■ . $n$ $n$ $5n(n-1)\equiv 0{\pmod {10)),$ $5n^{2}-4n\equiv n{\pmod {10))$

Určení, zda je dané číslo polygonální

Úloha 1 (Diophantus problém): dané přirozené číslo . Určete, zda se jedná o polygonální číslo , a pokud ano, pro které a . Diophantus formuloval tento problém následovně: " zjistit, kolikrát se dané číslo vyskytuje mezi všemi možnými polygonálními čísly " [29] . $N>2$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$ $n$

Řešení úlohy je redukováno na řešení „ diofantické rovnice “ (viz obecný vzorec ):

N=P_{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2)),

nebo: .

2N-2n=(k-2)(n^{2}-n)

Přepišme výslednou rovnici do tvaru: . $k-2={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}$

Jmenovatelé zlomků napravo jsou relativně prvočíslí ; součet nebo rozdíl takových zlomků může být celé číslo pouze v případě, že každý zlomek je celé číslo [30] , je tedy násobkem , ale násobkem . $2N-2$ $n-1$ $2N$ $n$

Výsledkem je, že algoritmus řešení má následující podobu [29] :

Vypište všechny přirozené dělitele čísla (včetně samotného ). $2N$ $jeden$ $2N$
Zapište všechny přirozené dělitele čísla . $2N-2$
Vyberte z první sady ta čísla, která jsou větší než jakákoli čísla z druhé sady. Tato čísla se shodují . $jeden$ $n$
Pro každý vybraný vypočítejte . $n$ ${\textstyle k={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}+2}$
Odstraňte dvojice , ve kterých . $(n,\;k)$ $k<3$

Potom jsou všechna čísla odpovídající zbývajícím párům rovna . ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $N$

Příklad [29] . Nechte _ $N=105$

Děliče . $2N=210\colon \quad 1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\; 30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210$
Děliče . $2N-2=208\colon \quad 1,\;2,\;4,\;8,\;13,\;16,\;26,\;52,\;104,\;208$
Výběr . $n=2,\;3,\;5,\;14,\;105$
Podle toho . Poslední hodnota by měla být vyřazena. $k=105,\;36,\;12,\;14,\;2$

Odpověď: může být reprezentována jako , tedy jako číslo 2. 105-úhelník, 3. 36-úhelník, 5. 12-úhelník a 14. 14-úhelník. $105$ $P_{2}^{(105)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14) )}$

Úkol 2 : Pokud je dané přirozené číslo , musíte určit, zda se jedná o -uhlíkové číslo . Na rozdíl od úkolu 1 je zde uveden. $N>2,$ $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$

Pro řešení můžete použít identitu Diophantus [31] :

{\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2))

Tato identita je získána z výše uvedeného obecného vzorce pro ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ a je s ním ekvivalentní. Řešení vyplývá z identity: pokud existuje číslo -uhlí, tedy pro některé , pak existuje nějaké čtvercové číslo a naopak. V tomto případě je číslo nalezeno vzorcem [31] : $N$ $k$ ${\displaystyle N=P_{n}^{(k)))$ $n,$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $R^2$ $n$

{\textstyle n={\frac {R+k-4}{2k-4))}

Příklad [31] . Zjistíme, zda je číslo 10-ti stranné. Hodnota je zde stejná, takže odpověď je ano. proto je 20. 10-úhlové číslo. $1540$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $98596=314^{2},$ $n=20,$ $1540$

Generující funkce

Mocninná řada , jejíž koeficienty jsou -uhlí čísla, konverguje k : $k$ $|x|<1$

{\textstyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots = {\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3))))

Výraz vpravo je generující funkce pro posloupnost čísel -uhlí [32] . $k$

Aparát generujících funkcí umožňuje aplikovat metody matematické analýzy v teorii čísel a kombinatorice . Výše uvedený vzorec také vysvětluje výskyt čísel -uhlí mezi koeficienty Taylorovy řady pro různé racionální zlomky. Příklady: $k$

V : ;

k=3

{\textstyle \qquad {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}x^{2 }+P_{3}^{(3)}x^{3}+\tečky +P_{n}^{(3)}x^{n}+\tečky }

V : ;

k=4

{\textstyle \qquad {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4) }x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\tečky +P_{n}^{(4)}x^{n}+\tečky }

v :

k=5

{\textstyle \qquad {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5) }x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+\tečky }

atd.

Pro některé třídy polygonálních čísel existují specifické generovací funkce. Například pro čtvercová trojúhelníková čísla má generující funkce následující tvar [33] : $1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\tečky$

{\textstyle {\frac {x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+\tečky }

; řada konverguje k .

|x|<17-12{\sqrt {2}}

Klasická polygonální čísla z více než jedné odrůdy

Existuje nekonečné množství "vícemístných" (nebo "mnohopolygonálních") [34] čísel, tedy čísel, která patří současně k několika různým variantám složených čísel. Existují například trojúhelníková čísla, která jsou také čtvercová (" čtvercová trojúhelníková čísla ") [35] :

1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\tečky

(sekvence A001110 v OEIS ).

Trojúhelníkové číslo může být také současně

pětiúhelníkový (sekvence A014979 v OEIS ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 217261583646;

hexagonální (všechna trojúhelníková čísla s lichým číslem);
sedmiúhelníkový (sekvence A046194 v OEIS ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 104297931341959741, 0831...

atd. Není známo, zda existují čísla, která jsou současně trojúhelníková, čtvercová a pětiúhelníková; počítačový test čísel menších než toto neodhalil žádné takové číslo, ale nebylo prokázáno, že žádná neexistují [34] . $10^{22166},$

Čtvercové číslo může být současně

pětiúhelníkový (sekvence A036353 v OEIS ):

1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 79998122948412869780580

šestiúhelníkový (sekvence A046177 v OEIS ):

1 1225 1413721 1631432881 1882672131025 2172602007770041 2507180834294496361 289328451017385103017385103

sedmiúhelníkový (sekvence A036354 v OEIS ):

1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449…

atd.

Pětiúhelníkové číslo může být současně:

šestiúhelníkový (sekvence A046180 v OEIS ):

1, 40755 1533776805, 57722156241751

sedmiúhelníkový (sekvence A048900 v OEIS ):

1, 4347, 16701685, 64167869935, 246532939589097, 947179489733441251, 3639063353022941697757…

atd.

Šestihranné číslo je nutně také trojúhelníkové; může být také sedmiúhelníkový současně (sekvence A48903 v OEIS ):

1, 121771, 12625478965, 1309034909945503, 135723357520344181225, 14072069153115290487843091…

Možné jsou i jiné kombinace tří nebo více typů obrazových čísel. Například, jak je dokázáno výše , číslo se vyskytuje ve čtyřech variantách: Úplný seznam takových kombinací od trojúhelníkových po 16úhelníková čísla naleznete v sekvenci A062712 v OEIS . $105$ $P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{2}^{(105) )}.$

Kontingenční tabulka

k	Rozmanitost složených čísel	Obecný vzorec	n										Součet recipročních [36]	OEIS číslo
k	Rozmanitost složených čísel	Obecný vzorec	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	Součet recipročních [36]	OEIS číslo
3	trojúhelníkový	jeden2( n 2 + n )	jeden	3	6	deset	patnáct	21	28	36	45	55	2	A000217
čtyři	náměstí	jeden2( 2n2 − 0n ) = n2 _	jeden	čtyři	9	16	25	36	49	64	81	100	$\pi$ 26	A000290
5	pětiúhelníkový	jeden2(3 n 2 − n )	jeden	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3\ln 3-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{3}}$	A000326
6	šestiúhelníkový	jeden2( 4n2 − 2n ) _	jeden	6	patnáct	28	45	66	91	120	153	190	2 ln 2	A000384
7	sedmiúhelníkový	jeden2( 5n2 − 3n ) _	jeden	7	osmnáct	34	55	81	112	148	189	235	${\tfrac {\pi }{3}}{\sqrt {1-{\tfrac {2}{\sqrt {5}}}}}$ $+{\tfrac {5}{6}}\ln 5-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\ln \left({\tfrac {1+{\sqrt {5}} }{2}}\right)$	A000566
osm	osmiúhelníkový	jeden2( 6n2 − 4n ) _	jeden	osm	21	40	65	96	133	176	225	280	3čtyřiln 3 + $\pi$ √ 312	A000567
9	neúhlové	jeden2( 7n2 − 5n ) _	jeden	9	24	46	75	111	154	204	261	325	${\tfrac {1}{5}}(2\ln 14+4\cos {\tfrac {\pi }{7}}\ln \cos {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\ln \sin {\tfrac {\pi }{7}}\sin {\tfrac {\pi }{14}}-\ln \cos {\tfrac {\pi }{14}}\sin {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\pi \operatorname {tg} {\tfrac {3\pi }{14)))$	A001106 A244646
deset	desetiúhelníkový	jeden2( 8n2 − 6n ) _	jeden	deset	27	52	85	126	175	232	297	370	ln 2 + $\pi$ 6	A001107
jedenáct	11-uhlí	jeden2( 9n2 − 7n ) _	jeden	jedenáct	třicet	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-uhlí	jeden2( 10n2 − 8n ) _	jeden	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-uhlí	jeden2( 11n2 − 9n ) _	jeden	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
čtrnáct	14-uhlí	jeden2( 12n2 − 10n ) _	jeden	čtrnáct	39	76	125	186	259	344	441	550	25ln 2 +3desetln 3 + $\pi$ √ 3deset	A051866
patnáct	15-uhlí	jeden2( 13n2 − 11n ) _	jeden	patnáct	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-uhlí	jeden2( 14n2 − 12n ) _	jeden	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-uhl	jeden2( 15n2 − 13n ) _	jeden	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
osmnáct	18-uhlí	jeden2( 16n2 − 14n ) _	jeden	osmnáct	51	100	165	246	343	456	585	730	čtyři7protokol 2 -√2 _čtrnáctlog (3 − 2 √ 2 ) + $\pi$ ( 1 + √2 )čtrnáct	A051870
19	19-uhl	jeden2( 17n2 − 15n ) _	jeden	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
dvacet	osmiúhelníkový	jeden2( 18n2 − 16n ) _	jeden	dvacet	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-uhl	jeden2( 19n2 − 17n ) _	jeden	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1000	1000-uhlí	jeden2( 998n2 − 996n ) _	jeden	1000	2997	5992	9985	14976	20965	27952	35937	44920		A195163
10 000	10 000 uhlí	jeden2(9998 n 2 − 9 996 n )	jeden	10 000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Polygonální čísla na střed

Definice

Čísla středových úhlů ( ) jsou třídou tvarových čísel získaných následující geometrickou konstrukcí. Nejprve je na rovině upevněn určitý středový bod. Poté je kolem něj postaven pravidelný k -úhelník s vrcholovými body, každá strana obsahuje dva body (viz obrázek). Dále se vně staví nové vrstvy -gony a každá jejich strana na nové vrstvě obsahuje o jeden bod více než v předchozí vrstvě, to znamená, že počínaje druhou vrstvou obsahuje každá další vrstva více bodů než předchozí. Celkový počet bodů uvnitř každé vrstvy a je brán jako centrované polygonální číslo (bod ve středu je považován za počáteční vrstvu) [37] . $k$ $k \geqslant 3$ $k$ $k$ $k$

Příklady vytváření polygonálních čísel na střed:

trojúhelníkový	Náměstí	Pětiúhelníkový	Šestihranný

Z konstrukce je vidět, že centrovaná polygonální čísla získáme jako částečné součty následujících řad: (například centrovaná čtvercová čísla, pro která tvoří posloupnost: ) Tuto řadu lze zapsat jako , z čehož je vidět že v závorce je generující řada pro klasická trojúhelníková čísla (viz obr. výše ). Proto lze každou posloupnost vycentrovaných -úhlových čísel počínaje 2. prvkem reprezentovat jako , kde je posloupnost trojúhelníkových čísel. Například čtvercová čísla na střed jsou čtyřnásobná trojúhelníková čísla plus , generující řada pro ně je: [38] $1+k+2k+3k+4k+\dots$ $k=4,$ $1,5,13,25,41\tečky$ $1+k(1+2+3+4+\tečky )$ $k$ $kT_{n-1}+1$ $T_{n}~(n=1,\;2,\;3\tečky )$ $jeden$ $1+4+8+12\dots$

Z výše uvedeného vzorce pro trojúhelníková čísla lze vyjádřit obecný vzorec pro th centrované -gonální číslo [38] : $n$ $k$ ${\displaystyle C_{n}^{(k)))$

{\textstyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2))={\frac {kn^{2}-kn+2}{2} };\ n=1,\;2,\;3\tečky }

(OCF)

Generující funkce pro centrovaná polygonální čísla má tvar [39] :

{\textstyle f(x)={\frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3))};\quad |x|<1 }

Odrůdy centrovaných polygonálních čísel

Středová trojúhelníková čísla

$n$ Trojúhelníkové číslo se středem th v pořadí je dáno vzorcem:

{\textstyle C_{n}^{(3)}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Důsledek (pro ): . $n>1$ ${\textstyle C_{n}^{(3)}=3T_{n-1}+1}$

První prvky posloupnosti středových trojúhelníkových čísel jsou:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571…, ( 0544 sekvence A0 ).

{\textstyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Některé vlastnosti [40]

Každé trojúhelníkové číslo na střed, počínaje 10, je součtem tří po sobě jdoucích klasických trojúhelníkových čísel: $C_{n}^{(3)}=P_{n}^{(3)}+P_{n-1}^{(3)}+P_{n-2}^{(3)} .$
Z důsledků obecného vzorce je vidět, že každé centrované trojúhelníkové číslo , když je děleno 3, dává zbytek 1, a kvocient (pokud je kladný) je klasické trojúhelníkové číslo . ${\displaystyle C_{n}^{(3)))$ ${\displaystyle T_{n-1))$
Některá trojúhelníková čísla na střed jsou prvočísla [10] : 19, 31, 109, 199, 409 … (sekvence A125602 v OEIS ).

Čtvercová čísla na střed

jeden		5		13		25

$n$ Čtvercové (čtvercové) číslo na střed v pořadí je dáno vzorcem:

{\textstyle C_{n}^{(4)}={(2n-1)^{2}+1 \over 2}=2n^{2}-2n+1=(n-1)^{2} +n^{2}}

První prvky posloupnosti čtvercových čísel na střed jsou:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761..., ( 0184 sekvence A0 ).

n^{2}+(n-1)^{2}\tečky

Některé vlastnosti [41]

Jak lze vidět z obecného vzorce , centrované čtvercové číslo je součtem dvou po sobě jdoucích čtverců.
Všechna čtvercová čísla na střed jsou lichá a poslední číslice v jejich desítkové reprezentaci se mění v cyklu: 1-5-3-5-1.
Všechna čtvercová čísla na střed a jejich dělitelé zanechávají zbytek 1, když jsou dělena 4, a když dělená 6, 8 nebo 12 dávají zbytek 1 nebo 5.
Všechna čtvercová čísla na střed kromě 1 představují délku přepony v jedné z pythagorejských trojic (např. 3-4-5, 5-12-13). Každé vycentrované čtvercové číslo se tedy rovná počtu bodů v dané vzdálenosti v blocích od středu čtvercové sítě.
Rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími klasickými osmihrannými čísly je centrované čtvercové číslo.
Některá centrovaná čtvercová čísla jsou prvočísla (jak je ukázáno výše, klasická čtvercová čísla, počínaje třetím v pořadí, jsou zjevně složená). Příklady jednoduchých čtvercových čísel na střed:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 2521, 363121 sekvence ( 03183IS ) Centrovaná pětiúhelníková čísla

$n$ Pětiúhelníkové číslo v pořadí na střed je dáno vzorcem:

{\textstyle C_{n}^{(5)}={\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Několik prvních vycentrovaných pětiúhelníkových čísel:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951 ... , 081 , sekvence A081

{\textstyle {\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Parita pětiúhelníkových čísel se středem se mění podle pravidla: sudá-sudá-lichá-lichá a poslední desetinná číslice se mění v cyklu: 6-6-1-1.

Některá centrovaná pětiúhelníková čísla jsou prvočísla [10] : 31, 181, 331, 391, 601 . . . (sekvence A145838 v OEIS ).

Šestihranná čísla na střed

$n$ Šestiúhelníkové číslo se středem th v pořadí je dáno vzorcem:

C_{n}^{(6)}=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1

Několik prvních šestiúhelníkových čísel na střed:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 … … (sekvence A003215 v OEIS ).

1+3n(n-1)

Některé vlastnosti [42]

Poslední desetinné místo centrovaných hexagonálních čísel se mění v cyklu 1-7-9-7-1.
Součet prvních n vycentrovaných hexagonálních čísel se rovná " kubickému číslu " . $n^3$
Rekurzivní rovnost platí: . $C_{n}^{(6)}=2C_{n-1}^{(6)}-C_{n-2}^{(6)}+6$
Některá centrovaná šestiúhelníková čísla jsou prvočísla [10] : 7, 19, 37, 61, 127… (sekvence A002407 v OEIS ).

Vycentrovaná sedmiúhelníková čísla

$n$ Sedmiúhelníkové číslo th v pořadí na střed je dáno vzorcem . Lze jej také vypočítat vynásobením trojúhelníkového čísla číslem 7 a přidáním 1. ${\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}$ $(n-1)$

Několik prvních vycentrovaných sedmiúhelníkových čísel:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953 …, … (sekvence A069099 v OEIS ).

{\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}

Parita centrovaných sedmiúhelníkových čísel se mění v cyklu lichá-sudá-sudá-lichá.

Některá centrovaná sedmiúhelníková čísla jsou prvočísla [10] :

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697… ( OEIS sekvence A144974 ).

V párech dvojčísel jsou také centrovaná sedmiúhelníková čísla :

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651… ( sekvence OEIS A144975 ). Osmihranná čísla na střed

$n$ Osmihranné číslo th v pořadí na střed je dáno . $(2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1$

Několik prvních osmiúhelníkových čísel na střed:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089. Některé vlastnosti [43]

Všechna osmihranná čísla na střed jsou lichá a jejich poslední desetinná číslice se mění v cyklu 1-9-5-9-1.
Osmihranné číslo na střed je stejné jako klasické liché čtvercové číslo: Jinými slovy, liché číslo je osmihranné číslo na střed právě tehdy, když je druhou mocninou celého čísla. $C_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(4)}.$
Z předchozí vlastnosti vyplývá, že všechna osmihranná čísla na střed kromě 1 jsou složená.

Nešestihranná čísla na střed

$n$ Devítiúhlé číslo th v pořadí na střed je určeno obecným vzorcem . ${\frac {(3n-2)(3n-1)}{2))$

Vynásobením -tého trojúhelníkového čísla 9 a přičtením 1 dostaneme -té šestiúhelníkové číslo se středem, ale existuje i jednodušší spojení s trojúhelníkovými čísly - každé třetí trojúhelníkové číslo (1., 4., 7. atd.) je také centrované neagonální číslo a tímto způsobem lze získat všechna vycentrovaná neúhlová čísla. Formální zápis: . $(n-1)$ $n$ ${\displaystyle C_{n}^{(9)}=P_{3n-2}^{(3)))$

První vycentrovaná devítiúhlá čísla:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946… ( sekvence OEIS A060544 ).

S výjimkou 6 jsou všechna sudá dokonalá čísla také centrovaná hexagonální čísla. V roce 1850 amatérský matematik Frederick Pollock navrhl , což dosud nebylo dokázáno ani vyvráceno, že jakékoli přirozené číslo je součtem maximálně jedenácti centrovaných devítiúhelníkových čísel [44] .

Z obecného vzorce vyplývá, že všechna vycentrovaná devítiúhlá čísla, kromě 1, jsou složená.

Centrovaná desetinná čísla

$n$ Desetihranné číslo th v pořadí na střed je dáno vzorcem . $5(n^{2}-n)+1$

První zástupci centrovaných desetiúhelníkových čísel:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051… ( sekvence OEIS A062786 ).

5(n^{2}-n)+1

Stejně jako ostatní k -gonální čísla, i -té středové desetinné číslo lze vypočítat vynásobením --tého trojúhelníkového čísla číslem , v našem případě 10, a poté přičtením 1. V důsledku toho lze desetinná čísla se středem získat jednoduše přičtením 1 k desítkové zobrazení čísla. Všechna desetinná čísla na střed jsou tedy lichá a vždy končí na 1 v desítkovém vyjádření. $n$ $(n-1)$ $k$

Některá z desetiúhelníkových čísel na střed jsou prvočísla, například:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251… 9 sekvence O251 , 5E6

Polygonální čísla, klasická i centrovaná

Některá polygonální čísla se středem se shodují s těmi klasickými, například: ; pro stručnost budeme taková polygonální čísla nazývat double . $1,\;10,\;25,\;51$

1. Dvojitá čísla se společným parametrem (počet rohů): identita [45] platí :

k

C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}\quad

. 2. Dvojitá trojúhelníková čísla s různými Příklad: (sekvence A128862 v OEIS ). Abyste je našli, musíte vyřešit diofantinskou rovnici :

k.

1,\;10,\;136,\;1891,\;26335\tečky

m^{2}+m=3n^{2}-3n+2,

pak . Některá řešení:

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n}^{(3)))

m=1,\;4,\;16,\;61,\;229\tečky

(sekvence A133161 v OEIS ), respektive:

n=1,\;3,\;10,\;36,\;133\tečky

(sekvence A102871 v OEIS ). 3. Klasická čtvercová čísla, která jsou centrovaná trojúhelníková čísla. Jsou určeny diofantinskou rovnicí:

{\textstyle m^{2}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}.\quad }

Pak .

{\displaystyle C_{m}^{(3)}=P_{n}^{(4)))

Řešení:

m=1,\;2,\;8,\;19,\;79\tečky

(sekvence A129445 v OEIS ), resp

n=1,2,7,16,65\tečky

První čísla jsou:

1,\;4,\;64,\;361,\;6241\tečky

4. Klasické trojúhelníkové, což jsou centrovaná šestiúhelníková čísla. První taková čísla jsou: (sekvence A006244 v OEIS ). Jsou určeny diofantinskou rovnicí:

1,\;91,\;8911,\;873181,\;85562821\tečky

{\frac {m(m+1)}{2}}=3n^{2}+3n+1.\quad

Pak .

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n+1}^{(6)))

Řešení:

m=1,13,133,1321,13081\dots

(sekvence A031138 v OEIS );

n=0,\;5,\;54,\;539,\;5340\tečky

(sekvence A087125, v OEIS ). 5. Klasická čtvercová čísla, která jsou centrovaná hexagonální čísla. První taková čísla jsou: (sekvence A006051 v OEIS ). Jsou určeny diofantinskou rovnicí:

1,\;169,\;32761,\;6355441,\;1232922769\tečky

m^{2}=3n^{2}+3n+1.\quad

Pak .

{\displaystyle P_{m}^{(4)}=C_{n+1}^{(6)))

Řešení:

m=1,\;13,\;181,\;2521,\;35113\tečky

(sekvence A001570 v OEIS );

n=0,\;7,\;104,\;1455,\;20272\tečky

(sekvence A001921, v OEIS ).

Prostorová obrazná čísla

Spolu s obraznými čísly uvažovanými výše pro rovinné postavy lze definovat jejich prostorové nebo dokonce vícerozměrné analogy. Již staří matematici studovali čtyřstěnná a čtvercová pyramidová čísla. Je snadné určit čísla spojená s pyramidami , která jsou založena na jakémkoli jiném mnohoúhelníku, například:

Číslo pětiboké pyramidy .
Hexagonální pyramidové číslo .
Číslo sedmiboké pyramidy .

Jiné palety prostorových obrazných čísel jsou spojovány s klasickými polyhedra .

Pyramidová čísla

Pyramidová čísla jsou definována takto:

$n$ K- gonální pyramidální číslo th v pořadí je součtem prvních plochých obrazných čísel se stejným počtem úhlů : ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ $k$

\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\ tečky +P_{n}^{(k)}

Geometricky lze pyramidové číslo znázornit jako pyramidu vrstev (viz obrázek), z nichž každá obsahuje od 1 (horní vrstva) po (spodní) kuličky. ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

Indukcí není těžké dokázat obecný vzorec pro pyramidové číslo, který znal již Archimedes [46] :

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6))

(OPF)

Pravá strana tohoto vzorce může být také vyjádřena pomocí plochých polygonálních čísel:

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac { n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)

Existuje trojrozměrná analogie Nicomachova vzorce pro pyramidová čísla [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k+1)}=\Pi _{n}^{(k)}+\Pi _{n-1}^{(3)))

Generující funkce pyramidových čísel má tvar [48] :

f(x)={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};\quad |x|<1

. Trojúhelníková pyramidální (tetraedrická) čísla

Trojúhelníková pyramidová čísla, nazývaná také čtyřstěnná čísla, jsou obrazná čísla, která představují čtyřstěn , tedy pyramidu, na jejíž základně leží trojúhelník. Podle výše uvedené obecné definice pyramidových čísel je řád e čtyřstěnného čísla definován jako součet prvních trojúhelníkových čísel : $n-$ $n$

{\displaystyle \Pi _{n}^{(3)}=T_{1}+T_{2}+\tečky +T_{n))

Obecný vzorec pro čtyřstěnné číslo: . $\Pi _{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6))$

Prvních několik čtyřstěnných čísel:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969… ( sekvence OEIS A000292 ).

Zajímavé je, že páté číslo se rovná součtu všech předchozích.

Existuje trojrozměrná analogie vzorce Basche de Meziriac , a to rozšíření libovolného pyramidálního čísla v tetraedrických [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=\Pi _{n}^{(3)}+(k-3)\Pi _{n-1}^{(3)))

Pět čtyřstěnných čísel je současně trojúhelníkových (sekvence A027568 v OEIS ):

1, 10, 120, 1540, 7140.

Pouze tři čtyřstěnná čísla jsou čtvercová čísla (sekvence A003556 v OEIS ):

1^{2}=1

, , .

2^{2}=4

140^{2}=19\,600

Jeden z Pollockových „dohadů “ (1850): každé přirozené číslo může být reprezentováno jako součet nejvýše pěti čtyřstěnných čísel. Dosud to nebylo prokázáno, i když byl testován pro všechna čísla menší než 10 miliard [49] [50] .

Čtvercová pyramidová čísla

Čtvercová pyramidová čísla jsou často stručně označována jako jednoduše pyramidová čísla. Pro ně má pyramida čtvercovou základnu. Startovací sekvence:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819… ( OEIS sekvence A000330 ).

Obecný vzorec pro čtvercové pyramidové číslo je: . $\Pi _{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6))$

Čtvercové pyramidové číslo také vyjadřuje celkový počet čtverců [51] ve čtvercové síti . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)))$ $n\krát n$

Mezi čtvercovými a trojúhelníkovými pyramidovými čísly existuje následující vztah [52] :

{\displaystyle 4\Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{2n}^{(3)))

Výše bylo uvedeno, že součet postupných trojúhelníkových čísel je číslo čtvercové; podobně součet po sobě jdoucích čtyřstěnných čísel je čtvercové pyramidové číslo [52] : . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{n}^{(3)}+\Pi _{n-1}^{(3)))$

Polyedrická čísla

Analogicky ke čtvercovým číslům můžete zadávat „kubická čísla“ i čísla odpovídající jiným pravidelným a nepravidelným mnohostěnům – například platónským tělesům : $Q_{n}=n^{3},$

K dispozici jsou také centrované možnosti.

Kubická čísla

Krychlová čísla jsou součinem tří stejných přirozených čísel a mají obecný tvar Počáteční hodnoty: $Q_{n}$ $Q_{n}=n^{3}.$

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. . . (sekvence A000578 v OEIS ).

Krychlové číslo lze vyjádřit jako rozdíl druhých mocnin po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel [53] :

{\displaystyle Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2))

, .

n\geqslant 2

Důsledek: součet prvních kubických čísel se rovná druhé mocnině tého trojúhelníkového čísla: $n$ $n$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2))

Rozdíl mezi dvěma sousedními kubickými čísly je centrované hexagonální číslo. Důsledek: součet prvních šestiúhelníkových čísel se středem je kubické číslo [53] . $n$ $Q_{n}$

Vyjádření kubického čísla pomocí čtyřstěnu [53] :

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, kde .

n > 2

Jeden z " Pollockových dohadů " (1850): každé přirozené číslo může být reprezentováno jako součet nejvýše devíti kubických čísel. Osvědčeno na počátku 20. století. Obvykle stačí sedm kostek, ale 15 čísel vyžaduje osm (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, sekvence A018889 ), a dvě v OE čísla je potřeba všech devět: 23 a 239. Pokud je kromě sčítání povoleno i odčítání, stačí pět kostek (možná i čtyři, ale to se zatím neprokázalo) [54] .

Generující funkce kubických čísel má tvar [53] :

{\displaystyle f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4))))

; .

|x|<1

Osmistěnná čísla Dodekaedrická čísla Ikosahedrická čísla

Vícerozměrná zobecnění

Výše popsané trojrozměrné struktury lze zobecnit na čtyři nebo více dimenzí. Analogem čtyřstěnných čísel v -rozměrném prostoru jsou „ simplexní čísla“, nazývaná také hypertetraedrická [55] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Jejich speciální případy jsou:

$S_{n}^{[2]}$ jsou trojúhelníková čísla .
$S_{n}^{[3]}$ jsou čtyřstěnná čísla .
$S_{n}^{[4]}$ jsou pentatopová čísla .

Jiné varianty vícerozměrných čísel jsou hyperkubické : . Čtyřrozměrná hyperkubická čísla se nazývají bi -kvadrát [55] . ${\displaystyle Q_{n}^{[d]}=n^{d))$ $(d=4)$

Čísla z více než jedné odrůdy

Některá obrazová čísla mohou patřit k více než jednomu druhu plochých a/nebo vícerozměrných čísel, příklady plochých čísel již byly uvedeny výše . U vícerozměrných čísel je to spíše vzácná situace [56] .

Pět čísel (a pouze jich) je trojúhelníkových i čtyřstěnných (sekvence A027568 v OEIS ). $1,10,120,1540,7140$
Čtyři čísla jsou jak trojúhelníková, tak čtvercová pyramida (sekvence A039596 v OEIS ). $1,55,91,208335$
Tři čísla jsou jak plochý čtverec, tak čtyřstěn (sekvence A003556 v OEIS ). $1,4,19600$
Dvě čísla jsou současně čtvercová plochá a čtvercová pyramida. Toto prohlášení se stalo známým jako „ Lucova hypotéza “ nebo „ problém dělové koule “ (1875). Kompletní řešení poskytl v roce 1918 George Neville Watson [57] . $1.4900$

Žádné přirozené číslo, kromě 1, nemůže být současně [58] [56] :

trojúhelníkové a krychlové;
trojúhelníkové a bikvadrické [59] ;
trojúhelníková a pátá mocnina celého čísla [58] ;
centrovaný šestiúhelníkový a kubický.

V roce 1988 F. Bakers a J. Top dokázali, že žádné jiné číslo než 1 nemůže být zároveň čtyřstěnné i čtvercové pyramidální [60] . Bylo také prokázáno, že neexistují žádná čísla, která by současně [56] :

čtyřstěnné a kubické;
čtvercové pyramidální a kubické;
čtyřstěnné a bikvadratické;
čtvercový pyramidální a bi-čtvercový.

Archaické typy složených čísel

Ve starověku, kdy aritmetika nebyla oddělena od geometrie, Pythagorejci (6. století př. n. l.) rozlišovali několik dalších typů obrazných čísel [61] .

Lineární čísla jsou čísla „měřená pouze jednotkou“, tedy v moderní terminologii prvočísla (Euklides používá termín „ první čísla “, jiné řecké πρώτοι αριθμοί ).
Plochá (nebo plochá) čísla jsou čísla, která mohou být reprezentována jako součin dvou faktorů větších než jedna, tedy složených .
- Zvláštním případem jsou pravoúhlá čísla ( v pramenech někdy nazývaná " obdélná " ), která jsou součinem dvou po sobě jdoucích celých čísel [62] , tedy majících tvar $n(n+1),n\geqslant 0.$
Plná čísla jsou čísla, která mohou být reprezentována jako součin tří faktorů větších než jedna.

Euklidův komentátor D. D. Mordukhai-Boltovskoy vysvětluje [63] :

Pojmy "rovina" a "pevné" číslo jsou pravděpodobně pozůstatkem dřívějšího období matematického myšlení, kdy byly číslo a geometrický obraz ještě těsněji propojeny, kdy se součin počtu objektů abstraktním číslem považoval za uspořádání těchto objektů do řad objektů v každém s vyplněním plochy obdélníku. Totéž je třeba říci o součinu tří čísel, což je podle euklidovské terminologie solidní číslo. $A$ $b$ $b$ $A$

V současné době se prvočísla neklasifikují jako obrazná a termíny „ploché číslo“ a „plné číslo“ se přestaly používat [63] .

Role v teorii čísel

Pascalův trojúhelník

Čísla z Pascalova trojúhelníku ukazují souvislost s mnoha variantami složených čísel.

Na třetím řádku v Pascalově trojúhelníku jsou trojúhelníková čísla a na čtvrtém čtyřstěnná čísla (viz obrázek). Je to proto, že -té čtyřstěnné číslo je součtem prvních trojúhelníkových čísel, která se nacházejí na třetím řádku. Podobně čtyřrozměrná pentatopová čísla jsou umístěna na pátém řádku atd. Všechna, stejně jako ostatní čísla uvnitř Pascalova trojúhelníku, jsou binomické koeficienty . $n$ $n$

Všechny vnitřní prvky Pascalova trojúhelníku jsou tedy obrazná čísla a jsou zastoupeny jejich různé varianty. Podél každé čáry, zleva doprava, jsou hypertetraedrická čísla rostoucího rozměru. Je známo, že součet všech čísel v řadě je roven , z toho plyne, že součet všech čísel v prvních řadách je roven Mersennovu číslu . Mersennovo číslo lze tedy reprezentovat jako součet hypertetraedrických čísel. [64] . $n$ $2^{n},$ $n$ $M_{n}.$

Další použití

Mnoho teorémů v teorii čísel může být formulováno v podmínkách složených čísel. Katalánská domněnka například uvádí, že mezi hyperkubickými čísly libovolných rozměrů se pouze jeden pár liší o 1: (prokázáno v roce 2002) [65] . $3^{2}=2^{3}+1$

Každé sudé dokonalé číslo je trojúhelníkové [66] (a zároveň šestiúhelníkové a číslo šestiúhelníkového čísla je mocninou dvou). Takové číslo nemůže být současně čtvercové, kubické nebo jiné hyperkubické číslo [67] .

Legendreův dohad (1808, také známý jako třetí problém Edmunda Landaua ): mezi po sobě jdoucími čtvercovými čísly je vždy prvočíslo . Stále není prokázáno.

Součet prvních vycentrovaných trojúhelníkových čísel je "magická konstanta" pro magický čtverec dimenze . Další způsoby, jak získat stejnou konstantu, jsou pomocí trojúhelníkového čísla nebo sečtením všech přirozených čísel od do včetně [68] . $n$ $(n>2)$ $n\krát n$ ${\frac {T_{n^{2}}}{n}}$ ${\displaystyle T_{n-1))$ $T_{n}$

Mersennovo číslo větší než 1 nemůže být čtvercové, kubické nebo jinak hyperkubické, ale může být trojúhelníkové. Existují pouze čtyři trojúhelníková Mersennova čísla: , jejich hledání je ekvivalentní řešení Ramanujan-Nagelovy rovnice v přirozených číslech : . Jak se ukazuje, řešení této rovnice existuje pouze pro (sekvence A060728 v OEIS ), a pro , odpovídající Mersennovo číslo pak bude trojúhelníkové [64] . $1,3,5,4095$ $2^{n}-7=x^{2}$ $n=3,4,5,7,15$ $n>3$ ${\displaystyle M_{n-3))$

Fermatovo číslo také nemůže být čtvercové, kubické nebo jinak hyperkubické, ale v jediném případě může být trojúhelníkové: . Fermatovo číslo také nemůže být tetraedrické a hypertetraedrické jakéhokoli rozměru nad 2 [64] . $F_{0}=3$

Mezi Fibonacciho čísly jsou pouze tři čtvercová čísla (0, 1 a 144) a čtyři trojúhelníková (1, 3, 21, 55, sekvence OEIS A039595 ). Pokud otočíte Pascalův trojúhelník, jak je znázorněno na obrázku, pak lze Fibonacciho čísla získat jako součty podél vzestupných diagonál; tato skutečnost dává expanzi Fibonacciho čísla z hlediska hypertetraedrických čísel [69] .

Mezi Lucasovými čísly jsou dvě čtvercová čísla (1 a 4) a tři trojúhelníková (1, 3, 5778) [69] .

Katalánská čísla jsou vyjádřena jako hypertetraedrická čísla následovně [70] : $Cat_{n}$

Cat_{n}=S_{n+1}^{[n]}-S_{n+2}^{[n-1]}

Další třídou čísel úzce souvisejících se složenými čísly jsou Stirlingova čísla druhého druhu . Tato třída zahrnuje všechna trojúhelníková čísla: a výraz se rovná druhému v pořadí rozměrnému hyperkubickému číslu . Nakonec lze libovolné -rozměrné hyperkubické číslo rozšířit následujícím způsobem [70] : $S(n,m)$ $T_{n}=S(n+1,n)$ $S(n,2)+1$ $n$ $Q_{2}^{[n]}$ $n$ $S(n,m)$

{\displaystyle Q_{n}^{[d]}=\sum _{m=0}^{d}{S(d,m)n(n-1)\tečky (n-m+1)))

Poznámky

↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 9.
↑ Historie matematiky. Od starověku do počátku New Age // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 68. - 352 s.
↑ Kudrnatá čísla // Matematický encyklopedický slovník . - M . : Sovětská encyklopedie, 1988. - S. 607 . — 847 s.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. deset.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 12-13.
↑ Ozhigova E.P. Co je teorie čísel. - M . : Poznání, 1970. - S. 56-57.
↑ Aritmetická řada // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - V. 1. Archivní kopie ze dne 13. listopadu 2013 na Wayback Machine
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. patnáct.
↑ Za stránkami učebnice matematiky, 1996 , str. padesáti.
↑ 1 2 3 4 5 Deza E., Deza M., 2016 , str. 217.
↑ Sameen Ahmed Khan. Součty mocnin převrácených čísel polygonálních čísel (vzorec 23)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. čtrnáct.
↑ Diophantus Alexandrijský . Aritmetika a kniha polygonálních čísel / Per. I. N. Veselovský; Ed. a komentovat. I. G. Bašmaková. - M. : Nauka, 1974. - S. 48. - 328 s. Archivováno 24. dubna 2007 na Wayback Machine
↑ 1 2 Matvievskaya G.P. Doktrína čísla ve středověkém Blízkém a Středním východě. - Taškent: FAN, 1967. - S. 22-23. — 344 s. Navzdory názvu kniha sleduje historii pojmu číslo od nejstarších dob.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 237.
↑ Vilenkin N. Ya. Populární kombinatorika . - M .: Nauka, 1975. - S. 10-11. — 208 s. Archivováno 5. června 2016 na Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. deset.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 19-24.
↑ Dickson, 2005 , str. 27.
↑ Weisstein, Eric W. Telescoping Sum na webu Wolfram MathWorld .
↑ Dickson, 2005 , str. 3.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 225.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 19.
↑ 12 Dickson , 2005 , str. 2.
↑ Nějaká konečná číselná řada . Math24.ru _ Získáno 14. června 2019. Archivováno z originálu 14. června 2019. (Ruština)
↑ Kokhas K. P. Součet inverzních čtverců // Matematické vzdělání. - 2004. - Vydání. 8 . - S. 142-163 .
↑ Weinstein F.V. Dělení čísel. : [ arch. 9. srpna 2019 ] // časopis Kvant. - 1988. - č. 11.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 22.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , str. 37-38.
↑ Opravdu, nechť (všechna čísla jsou celá čísla) je celé číslo a , jsou coprime. Vynásobením obou stran , dostaneme: . Vpravo je celé číslo, proto dělí , a podle zobecněného Euklidova lemmatu dělí . ${\frac {a}{n_{1}}}+{\frac {b}{n_{2}}}$ $K$ $n_{1}$ $n_{2}$ $n_{1}$ ${\frac {bn_{1}}{n_{2}}}=Kn_{1}-a$ $n_{2}$ ${\displaystyle bn_{1))$ $n_{2}$ $b$
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , str. 38-39.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 33.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 34-37.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 25-34.
↑ Lawrence Downey, Boon W. Ong . Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocal of Figurate Numbers Archived 29. prosince 2019 na Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 39-40.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 40-41.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 42.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 43.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 44-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 45-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 46.
↑ Dickson, 2005 , str. 23.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 48.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 70-71.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 76.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 74-75.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 239.
↑ Frederick Pollock. Na rozšíření principu Fermatovy věty o polygonálních číslech konečných na vyšší řád řad, jejichž rozdíly jsou konstantní. S navrženou novou větou použitelnou na všechny objednávky // Abstracts of the Papers Communicated to Royal Society of London: journal. - 1850. - Sv. 5 . - S. 922-924 . — .
↑ Robitaille, David F. Matematika a šachy // Učitel aritmetiky. - 1974. - Sv. 21, č. 5 (květen). - S. 396-400. — .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 75.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , str. 78-81.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 231-232.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 126-134.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , str. 77-78.
↑ Watson GN Problém čtvercové pyramidy // Messenger. Matematika. 1918 sv. 48. S. 1-16.
↑ 1 2 Tučňákův slovník zvědavých a zajímavých čísel . Staženo: 9. března 2021.
↑ Dickson, 2005 , str. osm.
↑ Beukers F., Nahoru J. O pomerančích a integrálních bodech na určitých rovinných kubických křivkách // Nieuw Archief voor Wiskunde (4). - 1988. - Sv. 6, č. 3. - S. 203-210.
↑ Gaidenko P. P. Evoluce konceptu vědy (vznik a vývoj prvních vědeckých programů) Archivní kopie z 19. srpna 2014 na Wayback Machine , kapitola 1. M .: Nauka, 1980.
↑ Ben-Menahem, Ari. Historická encyklopedie přírodních a matematických věd, svazek 1 : [ arch. 11. listopadu 2021 ]. - Springer-Verlag, 2009. - S. 161. - (Odkaz na Springer). — ISBN 9783540688310 .
↑ 1 2 Počátky Euklida / Překlad z řečtiny a komentáře D. D. Mordukhai-Boltovského za redakční účasti M. Ya. Vygodského a I. N. Veselovského. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. 2. - S. 10, 268-270. - (Klasika přírodních věd).
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , str. 203-205.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 196-197.
↑ Za stránkami učebnice matematiky, 1996 , str. 51.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 200-201.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 222-223.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 208.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , str. 214-215.

Literatura

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Za stránkami učebnice matematiky: Aritmetika. Algebra. Geometrie . - M . : Vzdělávání, 1996. - S. 48 -52. — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Dějiny matematiky ve škole (4.–6. ročník). - M . : Vzdělávání, 1964. - S. 84-86. — 376 s.
Deza E. Speciální čísla přírodní řady: Učebnice .. - M . : Dům knihy "LIBROKOM", 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Kudrnatá čísla. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Depman I. Ya. Historie aritmetiky. Průvodce pro učitele . - Ed. druhý. - M . : Vzdělávání, 1965. - S. 150-155.
Matvievskaya G.P. Poznámky k polygonálním číslům v Eulerových sešitech // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1983. - č. 27 . - S. 27-49 .
Serpinsky V. Pythagorejské trojúhelníky. - M .: Uchpedgiz, 1959. - 111 s.
Stillwell D. Kapitola 3. Řecká teorie čísel // Matematika a její historie. - Moskva-Iževsk: Institut pro počítačový výzkum, 2004.
Dickson LE Polygonální. pyramidová a figurální čísla //Historie teorie čísel . - New York : Dover, 2005. - Sv. 2: Diofantinová analýza. - S. 22-23.

Odkazy

Kudrnatá čísla . Vydavatelská skupina OSNOVA. Datum přístupu: 10. února 2021. (Ruština)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 7532594-9

složená čísla

byt

Klasický polygonální	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Dvanáctiúhelníkový
Na střed	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Devítiúhlý Dekagonální

Pyramidový	čtyřstěnný Čtvercový pyramidální
mnohostranný	krychlový Oktaedrální Dodekaedrální dvacetistěnný Hvězdicovitý oktaedrický

mnohostranný	Pentatopický Bisquare

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux