Fibonacciho čísla

Fibonacciho čísla (pravopis - Fibonacci [2] ) - prvky číselné posloupnosti

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 107041, 107045, A070415 v OEIS ),

ve kterém jsou první dvě čísla 0 a 1 a každé následující číslo je rovno součtu dvou předchozích čísel [3] . Pojmenován podle středověkého matematika Leonarda z Pisy (známého jako Fibonacci ) [4] .

Pravda, v některých knihách, zvláště ve starších[ co? ] , člen rovný nule je vynechán — pak Fibonacciho posloupnost začíná [5] [6] . $F_{0}$ $F_{1}=F_{2}=1$

Formálněji je posloupnost Fibonacciho čísel dána lineárním rekurentním vztahem : $\{F_{n}\}$

{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

, kde .

\ n\geqslant 2,\ n\in \mathbb {Z}

Někdy jsou Fibonacciho čísla také považována za záporné hodnoty jako oboustranná nekonečná sekvence, která splňuje stejný vztah opakování. V souladu s tím lze termíny se zápornými indexy snadno získat pomocí ekvivalentního „zpětného“ vzorce : $n$ $F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	jeden	2	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset	…
$F_{n}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	jeden	0	jeden	jeden	2	3	5	osm	13	21	34	55	…

Je snadné to vidět . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Původ

Fibonacciho sekvence byla dobře známá ve starověké Indii [7] [8] [9] , kde byla používána v metrických vědách ( prozódie , jinými slovy versifikace) mnohem dříve, než se stala známou v Evropě [8] [10] [ 11] .

Vzor délky n lze sestavit přidáním S ke vzoru délky n − 1 nebo L ke vzoru délky n − 2 — a prozodisté ukázali, že počet vzorů délky n je součtem dvou předchozích čísla v pořadí [9] . Donald Knuth pojednává o tomto efektu v The Art of Programming .

Na Západě tuto sekvenci prozkoumal Leonardo z Pisy, známý jako Fibonacci , ve svém díle Kniha počítadla (1202) [12] [13] . Uvažuje o vývoji idealizované (biologicky nereálné) populace králíků, kde jsou podmínky následující: zpočátku dán novorozený pár králíků (samec a samice); od druhého měsíce po narození se králíci začínají pářit a produkují nový králičí pár, navíc každý měsíc; králíci nikdy neumírají [14] [15] a jako požadovanou hodnotu uvádí počet párů králíků za rok.

Na začátku prvního měsíce je pouze jeden novorozený pár (1) .
Na konci prvního měsíce stále jen jeden pár králíků, ale již spářený (1).
Na konci druhého měsíce první pár porodí nový pár a znovu se páří (2).
Na konci třetího měsíce první pár porodí další nový pár a páří se, druhý pár se pouze páří (3).
Na konci čtvrtého měsíce první pár porodí další nový pár a páří se, druhý pár rodí nový pár a páří se, třetí pár se pouze páří (5).

Na konci měsíce se počet párů králíků bude rovnat počtu párů v předchozím měsíci plus počtu novorozených párů, který bude stejný jako počet párů před dvěma měsíci, tzn. [16] . Tento problém může být také prvním modelem exponenciálního růstu populace . $n$ ${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1))$

Název „Fibonacciho sekvence“ poprvé použil teoretik 19. století Eduard Lucas [17] .

Binetův vzorec

Binetův vzorec explicitně vyjadřuje hodnotu jako funkci n : $F_{n}$

F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\ varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},

kde - zlatý řez a a jsou kořeny charakteristické rovnice Obecně platí, že podobný vzorec existuje pro jakoukoli lineární rekurentní posloupnost , kterou je Fibonacciho posloupnost. $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $\varphi$ $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi$ $x^{2}-x-1=0.$

Odůvodnění

[osmnáct]

Převedeme charakteristickou rovnici do tvaru, vynásobíme obě části číslem : - a dosadíme v tomto součtu číslem , což můžeme provést pomocí charakteristické rovnice. Dostaneme Poté pokračujeme v násobení a transformaci podle původní rovnice: $x^{2}-x-1=0$ $x^{2}=x+1,$ $X$ $x^{3}=x^{2}+x$ $x^{2}$ $x+1$ $x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.$ $X$ $x^{2}$

${\begin{aligned}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&= 3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x =\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cdots \end {zarovnaný}}$

Vznikne tak obecná rovnice: Abyste z této rovnice udělali skutečnou rovnost a odtud vyjadřovali samotná Fibonacciho čísla, musíte dosadit kořeny a $x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.$ $\varphi$ $-\varphi ^{-1}\colon$

${\begin{cases}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{cases}}$

$\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+ (-\varphi )^{-n}\cdot \varphi ^{2}=F_{n-1}(1+\varphi ^{2}),$

$\color {Black}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}- ({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\ left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^ {n-1}\right)=F_{n-1}.$

Důsledek a zobecnění

Z Binetova vzorce vyplývá, že pro všechna čísla je zaokrouhlení , tedy zejména pro asymptotiku $n\geqslant 0$ $F_{n}$ ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}},$ $F_{n}=\left\lpatro {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .$ $n\to\infty$ $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}.$

Binetův vzorec lze analyticky pokračovat následovně:

F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}} \že jo).

V tomto případě platí vztah pro libovolné komplexní číslo z . $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$

Totožnosti

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1.$ [dvacet]

Důkaz

Vzorec dokážeme indukcí na n :

Základ indukce: $n=0\colon$

$F_{0}=F_{2}-1=0.$

Krok indukce: nechť je tvrzení pro pravdivé: $n$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1.$

Pak musíme dokázat tvrzení pro $n+1\colon$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+3}-1.$

Ležíme na a

F_{n+3}

F_{n+2}

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1

Oba díly zkrátíme o

F_{n+1}\colon

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1,

Q.E.D. ∎

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$ [20] [21]

Důkaz

Vzorec dokážeme indukcí na n :

Základ indukce: $n=1\colon$

$F_{1}=F_{2}=1.$

Krok indukce: Nechť je tvrzení pro pravdivé: $n$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.$

Pak musíme dokázat tvrzení pro $n+1\colon$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+2}.$

Ležíme na a

F_{2n+2}

F_{2n+1}

F_{2n}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+1}+F_{2n}.

Oba díly zkrátíme o

F_{2n+1}\colon

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.

Q.E.D. ∎

$F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.$ [20] [22]

Tuto identitu lze prokázat odečtením prvního od druhého:

{\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\tečky +F_{{\color {Red}2}n})-(F_{1}+F_{3} +\tečky +F_{2n-1})&=F_{{\color {Červená}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\tečky + F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{alignedat}}

$F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.$ [23]
$F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+ jedna }$ (viz obr.).
$F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.$ [dvacet]
$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.$ [dvacet]
$F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.$ [24]
$F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.$
$F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\dots$ [25] , kde jsou binomické koeficienty . $C_{n}^{k}$

A obecnější vzorce:

$F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1 }F_{m-1}.$ [26]
$F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.$
$F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{nl}.$
Fibonacciho čísla jsou reprezentována hodnotami kontinuantů na množině jednotek: tj. $F_{n+1}=K_{n}(1,\tečky ,1),$ $F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots & \ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$ , stejně jako $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},$

kde matice mají velikost a kde i je imaginární jednotka .

n\krát n

Fibonacciho čísla lze vyjádřit pomocí Čebyševových polynomů : $F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\vpravo),$ $F_{2n+2}=U_{n}\levý({\frac {3}{2}}\vpravo).$
Pro jakékoli n , ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n- 1}\end{pmatrix}}.$
V důsledku toho počítání determinantů dává Cassini identitu : [27] [28]

(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.

S Cassiniho rovností je spojeno obecnější prohlášení pojmenované po Eugène Catalanovi : $F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.$

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n)))){2)).$
Toto tvrzení je odvozeno z identity Cassini pomocí základního poměru Fibonacciho čísel: ${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2))$ $\Dlouhá šipka doprava$ $0={\color {Red}F_{n+1}}^{2}-{\color {Red}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2} +(-1)^{n}).$

Vlastnosti

Největší společný dělitel dvou Fibonacciho čísel se rovná Fibonacciho číslu s indexem rovným největšímu společnému děliteli indexů, tedy Důsledky: $(F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}.$
- $F_{m}$ je dělitelné právě tehdy a jen tehdy, když je dělitelné (kromě ). Konkrétně je dělitelné (tj. je sudé) pouze pro je dělitelné pouze pro je dělitelné pouze pro atd. $F_{n}$ $m$ $n$ $n=2$ $F_{m}$ $F_{3}=2$ $m=3k;$ $F_{m}$ $F_{4}=3$ $m=4k;$ $F_{m}$ $F_{5}=5$ $m=5k$
- $F_{m}$ může být prvočíslo pouze pro prvočísla (s jedinou výjimkou ). Například číslo je prvočíslo a jeho index 13 je také prvočíslo. Ale i když je číslo prvočíslo, číslo není vždy prvočíslo a nejmenším protipříkladem je . Není známo, zda je množina prvočísel Fibonacciho čísel nekonečná. $m$ $m=4$ $F_{{13}}=233$ $m$ $F_{m}$ $F_{19}=4181=37\cdot 113.$
Fibonacciho číselná posloupnost je speciálním případem reciproké posloupnosti , její charakteristický polynom má kořeny a $x^{2}-x-1$ $\varphi$ $-{\frac {1}{\varphi )).$
Poměry jsou vhodnými zlomky zejména zlatého řezu , ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$ $\phi \colon$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .$
Součty binomických koeficientů na úhlopříčkách Pascalova trojúhelníku jsou Fibonacciho čísla díky vzorci $F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lpodlaží n/2\rpodlaží }{nk \vyberte k}.$
V roce 1964 J. Cohn ( JHE Cohn ) dokázal [29] , že jediné dokonalé čtverce mezi Fibonacciho čísly jsou Fibonacciho čísla s indexy 0, 1, 2, 12: $F_{0}=0^{2}=0,$ $F_{1}=1^{2}=1,$ $F_{2}=1^{2}=1,$ $F_{12}=12^{2}=144.$
Generující funkce Fibonacciho číselné řady je: $x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\tečky =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n }={\frac {x}{1-xx^{2}}}$
- Konkrétně 1 / 998,999 = 0,00 100 100 200 300 500 8 0 13 0 21 … _ _
Sada Fibonacciho čísel se shoduje se sadou nezáporných hodnot polynomu $z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y +2 roky$

na množině nezáporných celých čísel x a y [30] .

Součin a podíl jakýchkoli dvou různých Fibonacciho čísel jiných než jedna není nikdy Fibonacciho číslo.
Perioda Fibonacciho čísel modulo přirozené číslo se nazývá Pisanova perioda a označuje se . Pisanová období tvoří sekvenci: $n$ $\kolík)$ $\kolík)$ 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (sekvence A001175 v OEIS ).
- Zejména poslední číslice Fibonacciho čísel tvoří periodickou posloupnost s tečkou , poslední dvojice číslic Fibonacciho čísel tvoří posloupnost s tečkou , poslední tři číslice - s tečkou, poslední čtyři - s tečkou, posledních pět - s tečkou atd. $\pi (10)=60$ $\pi (100)=300$ $\pi (1000)=1500,$ $\pi (10000)=15000,$ $\pi (100000)=150000$
Přirozené číslo je Fibonacciho číslo právě tehdy, když nebo je čtverec [31] . $N$ $5N^{2}+4$ $5N^{2}-4$
Neexistuje žádná aritmetická progrese délky větší než 3, která se skládá z Fibonacciho čísel [32] .
Fibonacciho číslo je rovno počtu n-tic délky n nul a jedniček, které neobsahují dvě sousední jedničky. V tomto případě se rovná počtu takových n-tic počínaje nulou a - od jedné. $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ $F_{{n+1}}$ $F_{n}$
Součin všech po sobě jdoucích Fibonacciho čísel je dělitelný součinem prvních Fibonacciho čísel. $n$ $n$
Nekonečný součet převrácených hodnot Fibonacciho čísel konverguje, jeho součet (" převrácená hodnota Fibonacciho konstanty ") je 3,359884...

Variace a zobecnění

tribonacciho čísla
Fibonacciho čísla jsou speciálním případem Lucasových sekvencí . $F_{n}=U_{n}(1,-1)$
- Navíc jejich doplňkem jsou Lucasova čísla . $L_{n}=V_{n}(1,-1)$

V jiných oblastech

Existuje názor, že téměř všechna tvrzení, která nacházejí Fibonacciho čísla v přírodních a historických jevech, jsou mylná - to je běžný mýtus, který se často ukazuje jako nepřesná shoda s požadovaným výsledkem [34] [35] .

V přírodě

Fyllotaxi (uspořádání listů) u rostlin popisuje Fibonacciho posloupnost, pokud mají listy (pupeny) na jednoletém růstu (výhonek, stonek) tzv. spirálovité uspořádání listů. V tomto případě se počet za sebou uspořádaných listů (pupenů) ve spirále plus jedna, stejně jako počet úplných otáček spirály kolem osy ročního růstu (výhonek, stonek) obvykle vyjadřují prvními Fibonacciho čísly.
Slunečnicová semínka , šišky , květní plátky , buňky ananasu jsou také uspořádány podle Fibonacciho sekvence [36] [37] [38] [39] .

V umění

V poezii se častěji vyskytuje poměr „zlatého řezu“ (zlatá proporce), spojený prostřednictvím Binetova vzorce s Fibonacciho čísly. Například v básni Sh. Rustaveliho „ Rytíř v kůži pantera “ a v obrazech umělců [40] .

Fibonacciho čísla se však nacházejí jak přímo v poezii, tak v hudbě [41]

V kódování

V teorii kódování jsou navrženy stabilní tzv. „ Fibonacciho kódy “ [42] a základem těchto kódů je iracionální číslo.

Viz také

Poznámky

↑ John Hudson Tiner. Objevování světa matematiky: Od starověkých záznamů k nejnovějším pokrokům v počítačích . - New Leaf Publishing Group, 200. - ISBN 978-1-61458-155-0 . (Ruština)
↑ Viz např. T. V. Kropotova, V. G. Podolsky, P. E. Kashargin. Úvod do vyšší matematiky. — Kazaňský federální univerzitní fyzikální institut.
↑ Lucas, 1891 , str. 3.
↑ Fibonacciho čísla // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Beck & Geoghegan (2010) .
↑ Bona, 2011 , str. 180.
↑ Goonatilake, Susantha (1998), Toward a Global Science , Indiana University Press, s. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 >
↑ 1 2 Singh, Parmanand (1985), Takzvaná Fibonacciho čísla ve starověké a středověké Indii , Historia Mathematica sv. 12(3):229-244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ 1 2 Knuth, Donald (2006), The Art of Computer Programming , sv. 4. Generování všech stromů - Historie kombinatorického generování, Addison-Wesley, str. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms >
↑ Knuth, Donald (1968), The Art of Computer Programming , sv. 1, Addison Wesley, str. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 >
↑ Livio, 2003 , str. 197.
↑ Pisano, 2002 , str. 404-405.
↑ Fibonacciho Liber Abaci (Kniha výpočtu) . University of Utah (13. prosince 2009). Datum přístupu: 28. listopadu 2018. (neurčitý)
↑ Hemenway, Priya. Božská proporce : Phi v umění, přírodě a vědě . - New York: Sterling, 2005. - S. 20-21 . — ISBN 1-4027-3522-7 .
↑ Knott, Dr. Ron Fibonacciho čísla a zlatá sekce v přírodě - 1 . University of Surrey (25. září 2016). Datum přístupu: 27. listopadu 2018. (neurčitý)
↑ Knott, králíci Rona Fibonacciho . Univerzita Surrey Fakulta inženýrství a fyzikálních věd. (neurčitý)
↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, s. 153, ISBN 978-0-88385-506-5
↑ Umění řešení problémů . artofproblemsolving.com . Staženo: 9. května 2021. (neurčitý)
↑ Fibonacciho čísla // Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. Savin A.P. - 2. vyd. - M . : Pedagogika , 1989. - S. 312-314. — 352 s. — ISBN 5715502187 .
↑ 1 2 3 4 5 Věta je uvedena v tomto souboru . (neurčitý)
↑ Bod 23 . (neurčitý)
↑ Bod 24 . (neurčitý)
↑ Důsledek z bodu 36 . (neurčitý)
↑ Bod 30 . (neurčitý)
↑ 64 . (neurčitý)
↑ Bod 55 . (neurčitý)
↑ doklad totožnosti Cassini . planetmath.org . Datum přístupu: 30. května 2021. (neurčitý)
↑ Identita Cassini . (neurčitý)
↑ JHE Cohn . Čtvercová Fibonacciho čísla atd ., s. 109-113. Archivováno z originálu 11. července 2010. Staženo 1. července 2010.
↑ P. Ribenboim. Nová kniha prvočíselných rekordů . - Springer, 1996. - S. 193.
↑ Ira Gessel. Problém H-187 // Fibonacci čtvrtletně. - 1972. - T. 10 . - S. 417-419 .
↑ V. Serpinsky . Úloha 66 // 250 Úlohy v elementární teorii čísel . - M . : Vzdělávání, 1968. - 168 s.
↑ Hutchison, Luku. Growing the Family Tree: The Power of DNA in Reconstructing Family Relationships // Sborník příspěvků z prvního sympozia o bioinformatice a biotechnologiích (BIOT-04) : časopis. - 2004. - září.
↑ Fibonacci Flim-Flam . Archivováno 23. dubna 2012 na Wayback Machine .
↑ Mýtus , který nezmizí .
↑ Zlatý řez v přírodě .
↑ Fibonacciho čísla .
↑ Fibonacciho čísla .
↑ Akimov O.E. Konec vědy .
↑ Voloshinov A. V. Matematika a umění. Moskva: Vzdělávání, 2000. 400 s. ISBN 5-09-008033-X
↑ Matematika v poezii a hudbě
↑ Stakhov A., Sluchenkova A., Shcherbakov I. Da Vinciho kód a Fibonacciho řada. SPB. Nakladatelství: Piter, 2006. 320 s. ISBN 5-469-01369-3

Literatura

N. N. Vorobjov. Fibonacciho čísla . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Populární přednášky o matematice ).
A. I. Markuševič. návratové sekvence . - Paní. Nakladatelství technické a teoretické literatury, 1950. - svazek 1. - ( Populární přednášky z matematiky ).
A. N. Rudakov. Fibonacciho čísla a jednoduchost čísla 2 127 − 1 // Matematická výchova , třetí řada. - 2000. - T. 4 .
Donald Knuth . The Art of Computer Programming, díl 1. Základní algoritmy = The Art of Computer Programming, sv. 1. Základní algoritmy. - 3. vyd. - M .: "Williams" , 2006. - S. 720. - ISBN 0-201-89683-4 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . konkrétní matematika. Základ informatiky = konkrétní matematika. Nadace pro informatiku. — M .: Mir ; Binomický. Knowledge Lab , 2006. - S. 703. - ISBN 5-94774-560-7 .
Grant Arakelyan. Matematika a historie zlatého řezu. — M.: Logos, 2014. — S. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0 .
Ball, Keith M (2003), 8: Fibonacci's Rabbits Revisited, Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0 .
Beck, Matthias & Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics , New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
Bóna, Miklós (2011), Procházka kombinatorikou (3. vyd.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
- Bóna, Miklós (2016), Procházka kombinatorikou (4. přepracované vyd.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
Lemmermeyer, Franz (2000), Zákony reciprocity: Od Eulera k Eisensteinovi , Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
Livio, Mario . Zlatý řez: Příběh Phi , nejúžasnější číslo na světě . — První obchodní paperback. — New York City: Broadway Books, 2003. - ISBN 0-7679-0816-3 .
Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres , sv. 1, Paříž: Gauthier-Villars, Théorie des nombres v Google Books , < https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft > .
Pisano, Leonardo (2002), Fibonacciho Liber Abaci: Překlad Knihy kalkulací do moderní angličtiny , Zdroje a studie dějin matematiky a fyzikálních věd, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Odkazy

Prvních 300 Fibonacciho čísel (anglicky) .
Fibonacciho čísla v přírodě (anglicky) .

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	NDL : 00923391

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux