Leonardova čísla

Leonardova čísla jsou posloupností čísel daných závislostí:

L(n):={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L(n-1)+L(n -2)+1&{\text{if }}n>1.\\\end{cases}}

Edsger Dijkstra [1] je použil jako součást svého algoritmu hladkého řazení a studoval některé jejich vlastnosti. [2]

Vztah s Fibonacciho čísly

Leonardova čísla souvisejí s Fibonacciho čísly prostřednictvím vzorce . $L(n)=2F(n+1)-1,n\geqslant 0$

Tento vzorec přímo implikuje výraz pro Leonardova čísla, podobný Binetově vzorci pro Fibonacciho čísla:

L(n)=2{\frac {\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}}{\varphi -(1-\varphi )))-1= {\frac {2}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n+1}-(1-\varphi )^{n+1}\right)-1

kde je zlatý řez , a navíc a jsou kořeny kvadratické rovnice $\varphi =(1+{\sqrt 5})/2$ $\varphi$ $1-\varphi =(1-{\sqrt 5})/2$ $x^{2}-x-1=0.$

Prvních dvacet členů Leonardovy číselné řady je:

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, 13529 — sekvence A001595 v OEIS

poměr sousedních Leonardových čísel, stejně jako sousedních Fibonacciho čísel, inklinuje ke zlatému řezu